Université Paris Cité

École Doctorale de Sciences Mathématiques de Paris Centres (ED 386)

Instituet de Mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche (UMR 7586)

.4ptOn exact dg categories

présenté par Xiaofa CHEN

THÈSE DE DOCTORAT DE MATHÉMATIQUES

Dirigée par Bernhard KELLER

Présentée et soutenue publiquement le 11 Juillet 2023

devant le jury composé de:

\[
\begin{aligned}
&\textbf{Mme Claire AMIOT} &&\text{MCU-HDR}&&\text{Universit\'e Grenoble Alpes} &&\text{Examinatrice}\\
&\textbf{M Xiao-Wu CHEN} &&\text{Professor}&&\text{USTC} &&\text{Examinateur}\\
&\textbf{M Gustavo JASSO} &&\text{Senior Lecturer}&&\text{Lunds Universitet} &&\text{Examinateur}\\
&\textbf{M Bernhard KELLER} &&\text{Professeur}&&\text{Universit\'e Paris Cit\'e} &&\text{Directeur}\\
&\textbf{M Julian K\"ULSHAMMER} &&\text{Associate Professor}&&\text{Uppsala University} &&\text{Rapporteur}\\
&\textbf{Mme Muriel LIVERNET} &&\text{Professeure}&&
\text{Universit\'e Paris Cit\'e} &&\text{Examinatrice}\\
&\textbf{Mme Sibylle SCHROLL}&&\text{Professor}&&\text{University of Cologne} &&\text{Examinatrice}\\
&\textbf{M Bertrand TO\"EN} &&\text{DR CNRS}&&\text{Universit\'e de Toulouse} &&\text{Rapporteur}
\end{aligned}
\]

Institut de Mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche

Université Paris Cité – Campus des Grands Moulins

Bâtiment Sophie Germain, Boite Courrier 7012

8 Place Aurélie Nemours,

75205 Paris Cedex 13

Université Paris Cité

École Doctorale ED 386

Bâtiment Sophie Germain

Case courrier 7012

8 place Aurélie Nemours

75205 Paris Cedex 13

I would like to express my heartfelt gratitude to my supervisor, Bernhard Keller. His exceptional knowledge and expertise and consistent support have been extremely helpful throughout my PhD journey. His excellent guidance, productive feedback and continuous encouragement have been invaluable in shaping my research and refining my ideas. I am truly grateful for his very kind sharing of mathematical insights. His taste in mathematics remains a treasure for me.

I would like to thank my supervisor in China Xiao-Wu Chen for the constant support and encouragement during my career in mathematics. His extensive knowledge and commitment to academic excellence have greatly enhanced the quality and rigor of this thesis. I am indebted to his critical insights in shaping the direction and scope of my research. I would like to thank him for being a member of the defense committee of this thesis.

It is my honour to have Bertrand Toën and Julian Külshammer as the rapporteurs for this thesis and I would like to thank them for accepting it and for all their valuable suggestions. I would like to thank Sibylle Schroll for inviting me to give a talk at the LAGOON seminar, for her suggestions about finding postdoc positions, and for agreeing to be a member of the defense committee. I would like to thank Gustavo Jasso for organising the FD seminar and the study group on $\infty$-categories, and among others, for his talks on exact $\infty$-categories, and for agreeing to be part of the thesis committee. I sincerely thank Claire Amiot and Muriel Livernet for being part of the thesis committee.

I am grateful to Erlend Børve, Peigen Cao, Alessandro Contu, Mikhail Gorsky, Gustavo Jasso, Miantao Liu, Amnon Neeman, Yann Palu, Yu Wang, Zhengfang Wang and Yilin Wu for many interesting discussions and useful comments. I am grateful to Antoine Sédillot for his help during my stay in Paris.
I would like to thank Steffen Koenig for his advice on searching for a postdoc position.
I would like to thank Steffen Koenig and Zhengfang Wang for their invitations to University of Stuttgart and their hospitality. I thank Petter Andreas Bergh for his invitation to the Abel Symposium 2022 and the hospitality.

I would like to thank my wife Yaru Shao for always being supportive and for being with me all the way.
Finally, I would like to thank my father, my mother and my brother for their unconditional support.

Nous introduisons la notion de dg-catégorie exacte, qui généralise simultanément les notions de
catégorie exacte au sens de Quillen et de dg-catégorie prétriangulée au sens de Bondal–Kapranov.
Il s'agit également d'un analogue différentiel gradué  de la notion d'$\infty$-catégorie exacte de Barwick et
d'un enrichissement différentiel gradué de la notion de catégorie extriangulée de Nakaoka–Palu.
Nos motivations viennnent par exemple des catégories apparaissant dans la catégorification additive des
algèbres amassées à coefficients. Nous donnons une définition en complète analogie avec celle de Quillen,
mais où la catégorie des paires noyau-conoyau est remplacée par une catégorie homotopique plus sophistiquée.
Nous obtenons un certain nombre de résultats fondamentaux concernant le dg-nerf, la dg-catégorie dérivée,
les produits tensoriels et les catégories de dg-foncteurs à valeurs dans une dg-catégorie exacte.
Par exemple, nous montrons que pour une dg-catégorie $\A$ dont la catégorie homotopique $H^0(\A)$ est additive,
on a une bijection entre les structures exactes sur $\A$ et les structures exactes (au sens de Barwick) sur le dg-nerf de $\A$.
Nous montrons également l'existence de la plus grande structure exacte sur une (petite) dg-catégorie $\A$ dont
la catégorie homotopique est additive. Ceci généralise un théorème de Rump pour les catégories exactes de Quillen.
Catégorie extriangulée, dg-catégorie exacte,  dg-catégorie dérivée,
complexes homotopiques à 3 termes, sous-catégorie stable par extensions, catégorie amassée.

We introduce the notion of an exact dg category, which is a simultaneous generalization of the notions of
exact category in the sense of Quillen and of pretriangulated dg category in the sense of Bondal–Kapranov.
It is also a differential graded analogue of Barwick's notion of exact $\infty$-category and a differential
graded enhancement of Nakaoka–Palu's notion of extriangulated category. It is completely different
from Positselski's notion of exact DG-category.
Our motivations come for example from the categories appearing in the additive categorification
of cluster algebras with coefficients. We give a definition in complete analogy with Quillen's but
where the category of kernel-cokernel pairs is replaced with a more sophisticated homotopy category.
We obtain a number of fundamental results concerning the dg nerve, the dg derived category, tensor
products and functor categories with exact dg target. For example, we show that for a given dg category
$\A$ with additive homotopy category $H^0(\A)$, there is a bijection between exact structures on $\A$
and exact structures (in the sense of Barwick) on the dg nerve of  $\A$.
We also show the existence of the greatest exact structure on a (small) dg category
with additive homotopy category. This generalizes a theorem of Rump for Quillen exact categories.
Extriangulated category, exact dg category, dg derived category, 3-term complex up to homotopy,
homotopy short exact sequence,  extension-closed subcategory.

À mon père

§ INTRODUCTION (VERSION FRANÇAISE)

§.§ Aperçu

Dans cette thèse, nous introduisons et étudions la notion de dg-catégorie exacte.
Nous illustrons la position de cette classe de catégories parmi les autres types de catégories que nous considérerons dans cette thèse dans le diagramme suivant

{dg-cat.  prétri.}[rd,red][rr,"N_dg"description,near start,hook][dd,hook]      {$\infty$-cat. stable}[dd,hook][ld,red]

{cat. tri.}[dd,hook]

{ cat. ex. (Quillen)}[r,hook][rrd,hook]   {dg-cat.  ex.}[rr,hook,"N_dg"description,near start][rd,red]      {$\infty$-cat. ex. (Barwick)}[ld,red]

{cat. extri.}

Ici, les flèches noires représentent des inclusions de classes et les flèches rouges envoient une dg-catégorie  (respectivement une $\infty$-catégorie) $\A$ sur $H^0(\A)$ (respectivement $h\A$). Comme nous le voyons dans le diagramme, la notion de dg-catégorie exacte est

1) une version différentielle graduée de la notion d'$\infty$-catégorie exacte de Barwick [8];

2) une généralisation simultanée des notions de catégorie exacte au sens de Quillen [122] et de dg-catégorie  prétriangulée au sens de Bondal–Kapranov [15];

3) un enrichissement différentiel gradué de la notion de catégorie extriangulée au sens de Nakaoka–Palu [111] en analogie avec l'enrichissement différentiel gradué de la notion de catégorie triangulée de Bondal–Kapranov.

Nous avons également des caractérisations de certaines des sous-classes présentes dans le diagramme:

1) une catégorie extriangulée est une catégorie exacte de Quillen si et seulement si toute inflation est monomorphe et toute déflation est épimorphe, cf. <cit.>;

2) une catégorie extriangulée est une catégorie triangulée si et seulement si elle est une catégorie extriangulée de Frobenius dont les projectifs-injectifs sont les objets nuls, cf. <cit.>;

3) une dg-catégorie exacte est quasi-équivalente à une catégorie exacte de Quillen si et seulement si
l'homologie de la dg-catégorie sous-jacente est concentrée en degré zéro;

4) une dg-catégorie exacte connective est quasi-équivalente à la $\tau_{\leq 0}$-troncation d'une dg-catégorie prétriangulée si et seulement si sa catégorie d'homologie de degré zéro est canoniquement triangulée, cf. Exemple <ref>.

Plus de détails sur ces classes et les développements historiques sont donnés dans les sous-sections suivantes.
Soulignons que notre notion de dg-catégorie exacte est complètement différente de la notion de Positselski de DG-catégorie exacte [119]. Par exemple, une structure exacte dans notre sens peut être transportée le long d'une quasi-équivalence, cf. Remarque <ref> b), ce qui n'est pas du tout le cas pour les structures exactes au sens de Positselski. La motivation
principale de Positselski est d'axiomatiser des situations où l'on a une dg-catégorie
prétriangulée $\A$ dont la catégorie $Z^0(\A)$ est en outre munie d'une structure exacte
au sens de Quillen (comme la catégorie des complexes à composantes dans une
catégorie exacte). Par contre, notre notion vise à axiomatiser une classe de dg-catégories
non nécessairement prétriangulées munie d'une structure supplémentaire.

§.§ Catégories exactes

La notion de catégorie exacte a été introduite par Quillen dans [122] afin de définir sa $K$-théorie algébrique supérieure (les catégories exactes Karoubiennes ont été introduites 15 ans plus tôt par Heller [61]).
Grosso modo, une catégorie exacte est une catégorie additive $\E$ munie d'une classe de paires noyau-conoyau appelées conflations

\[
\begin{tikzcd}
L\ar[r,tail,"i"]&M\ar[r,two heads,"p"]&N
\end{tikzcd}
\]

où $i$ est appelée inflation et $p$ est appelée déflation, et qui satisfait certains axiomes.
La liste des axiomes a été réduite au `minimum' par Keller dans <cit.>.
Notamment, l'axiome `obscur' de Quillen est redondant et peut être déduit des autres axiomes, cf. aussi  <cit.>.
Pour un traitement complet de la théorie des catégories exactes au sens de Quillen, nous renvoyons à l'article de synthèse de Bühler [19]. Pour une étude des groupes d'extension supérieurs dans une catégorie exacte, nous renvoyons aux notes de cours [40].
Quillen a affirmé et Laumon et Thomason–Trobaugh [133] ont prouvé que pour une catégorie exacte essentiellement petite $\E$, il existe une équivalence exacte $G:\E\rightarrow \C$ sur une sous-catégorie pleine stable par extensions d'une catégorie abélienne $\C$ telle que le foncteur $G$ soit pleinement exact, c'est-à-dire qu'une suite dans $\E$ est une conflation si et seulement si son image dans $\C$ est une suite exacte courte, cf. <cit.>.
Quillen a utilisé les catégories exactes comme cadre pour sa remarquable construction $Q$, qui est liée à la bicatégorie des ponts introduite par Bénabou, cf. <cit.>. La catégorie $Q(\E)$ d'une catégorie exacte a les mêmes objets que $\E$ et les morphismes de $M$ à $M'$ sont donnés par des classes d'équivalence de toits

\[
\begin{tikzcd}
M&N\ar[l,two heads,"p"swap]\ar[r,tail,"i"]&M'
\end{tikzcd}
\]

où $p$ est une déflation et $i$ est une inflation, et deux toits sont considérés comme
équivalents s'il existe un isomorphisme entre les toits qui se restreint aux identités sur $M$ et $M'$.
Les compositions dans $Q(\E)$ sont données par des pullbacks.
En fait, la liste des axiomes de Quillen correspond exactement à ce dont on a besoin lors de la construction $Q$.
La généralisation des catégories abéliennes aux catégories exactes permet d'obtenir plus d'exemples, comme la catégorie des modules libres sur un anneau, la catégorie des fibrés vectoriels sur un schéma, les catégories des modules localement libres sur une algèbre préprojective généralisée [47], … .

§.§ Des catégories triangulées aux dg-catégories

D'autre part, pour formuler et démontrer ses extensions du théorème de dualité de Serre [54],
Grothendieck a inventé la notion de catégories dérivées et,
avec son étudiant Verdier, a introduit la notion de catégorie triangulée [137].
Presque simultanément, Puppe a également trouvé les axiomes (sauf l'axiome de l'octaèdre)
pour les catégories triangulées [121].
Pendant longtemps, les catégories triangulées ont été considérées comme trop grossières pour permettre le développement d'une théorie substantielle, principalement en raison du manque de fonctorialité de la construction du cône. Cette perception a changé grâce notamment aux travaux de Neeman [112, 115], mais il reste le fait que de nombreuses opérations sur les catégories dérivées ne peuvent  pas être effectuées dans le cadre des catégories triangulées,
notamment les produits tensoriels de catégories triangulées et les catégories de foncteurs avec des cibles triangulées.
Une solution viable à ce problème est fournie par la théorie des dg-catégories.
La notion de dg-catégorie est apparue dans le travail de Kelly [89].
Dans les années 90, Bondal–Kapranov [15] ont observé que
les espaces de morphismes des catégories triangulées apparaissant naturellement en algèbre
sont les groupes de cohomologie de degré zéro de certains complexes, et
il est un principe (popularisé par Grothendieck) en algèbre homologique de considérer le complexe lui-même
plutôt que sa cohomologie.
Par conséquent, ils ont proposé d'enrichir les catégories triangulées en utilisant des dg-catégories,
en exigeant que la structure triangulée soit compatible avec la structure dg.
En formalisant cette idée, ils ont défini la propriété d'une dg-catégorie d'être prétriangulée et
ont observé que chaque dg-catégorie peut engendrer librement une dg-catégorie prétriangulée.
Peu de temps après, Keller a publié son article fondamental [79]
sur les catégories d'homotopie et les catégories dérivées non bornées des dg-catégories.
Drinfeld [28] a donné une construction élégante du quotient dg, dont l'existence
remonte à Keller [81], et qui enrichit le quotient de Verdier.

§.§ Des catégories extriangulées aux dg-catégories exactes

La notion de catégorie extriangulée a été introduite par Nakaoka–Palu dans [111]. Elle constitue une généralisation simultanée de la notion de catégorie exacte de Quillen et de la notion de catégorie triangulée de Grothendieck–Verdier. Leur objectif était de fournir un cadre pratique pour énoncer des preuves qui s'appliquent à la fois aux catégories exactes et aux catégories triangulées, et plus généralement aux sous-catégories stable par extensions des catégories triangulées. Depuis leur introduction en 2019, la théorie des catégories extriangulées a beaucoup évolué et de nombreuses notions et constructions ont été généralisées dans ce cadre (ou dans le cadre plus général des catégories $n$-exangulées [63]). Parmi ces notions et constructions, on peut citer :

* les paires de cotorsion et leurs cœurs et co-cœurs, ainsi que les sous-catégories
$n$-amas-basculantes et bousculantes (silting), cf. [111, 96, 22, 2, 69, 3, 146, 148, 100];

* les mutations et la théorie des objets amas-basculants, cf. [22, 120, 147, 97, 98, 99, 75, 53];

* les Karoubianisations, cf. [140, 108, 90];

* la théorie d'Auslander–Reiten, cf. [70, 132];

* la formule d'Auslander pour la catégorie des foncteurs d'une catégorie extriangulée, cf. [117];

* les sous-structures d'une catégorie extriangulée, cf. [63, 33, 127];

* le recollement de catégories extriangulées, cf. [139, 58, 67, 106];

* les groupes de Grothendieck des catégories extriangulées, cf. [149, 56, 34];

* les algèbres de Hall des catégories extriangulées, cf. [138, 36];

* les localisations des catégories extriangulées, cf. [109, 116, 57];

* …
L'étude de la classe des sous-structures (= sous-bifoncteurs fermés) d'une catégorie exacte apparaît déjà dans [20], cf. aussi [4, 27, 18, 36, 6]. Notons que la classe des sous-structures triangulées d'une catégorie triangulée ne contient que la structure triviale.
Il serait intéressant de trouver une généralisation commune des catégories exactes à droite et des catégories suspendues, cf. [87, 9].

Par analogie avec la notion de catégorie triangulée algébrique [85], nous définissons une catégorie extriangulée algébrique comme suit.
[Definition-Proposition <ref>]
Soit $\C$ une catégorie extriangulée. Les énoncés suivants sont équivalents :

1) $\C$ est équivalente, en tant que catégorie extriangulée, à une sous-catégorie pleine stable par extensions d'une catégorie triangulée algébrique.

2) $\C$ est équivalente, en tant que catégorie extriangulée, à $\B/(\mathcal P_0)$ pour une catégorie exacte de Quillen $\B$ et une classe $\mathcal P_0$ d'objets projectifs-injectifs.

3) $\C$ est équivalente, en tant que catégorie extriangulée, à $H^0(\A)$ pour une dg-catégorie exacte $\A$.

Si l'une des conditions équivalentes ci-dessus est satisfaite, alors $\C$ est appelée une catégorie extriangulée algébrique.

À partir de la Définition-Proposition, il est clair que la classe des catégories extriangulées algébriques est stable sous :

a) passage aux sous-catégories stables par extensions ;

b) quotients par des idéaux engendrés par les identités d'objets projectifs-injectifs ;

c) passage aux sous-structures extriangulées, cf. Corollaire <ref>.

Nous nous attendons également à ce qu'elle soit stable lors du passage aux localisations au sens de Nakaoka–Ogawa–Sakai [109].
Il est également clair que si une catégorie extriangulée algébrique est triangulée, alors elle est aussi algébrique en tant que catégorie triangulée.

À partir de la partie 1) de la Définition-Proposition, il est clair qu'une catégorie extriangulée algébrique $\C$ possède un $\delta$-foncteur bivariant non borné au sens de <cit.>.
En particulier, cela fournit un bifoncteur additif $\mathbb E^{-1}$ qui est crucial dans l'étude
de l'ensemble partiellement ordonné des paires de $s$-torsion dans une catégorie
extriangulée dans [1].

§.§ Classes d'exemples de catégories extriangulées et de dg-catégories exactes

L'exemple suivant est tiré de  [74]. Soit $k$ un corps.
Une dg-algèbre $A$ sur $k$ est propre si $\sum_{i\in \mathbb Z}\dim_{k}{H^i(A)<\infty}$.
Elle est de Gorenstein si la sous-catégorie épaisse $\per(A)$ de la catégorie dérivée $\D(A)$
engendrée par $A$ coïncide avec la sous-catégorie épaisse $\thick(DA)$ engendrée par $DA$, où $D=\Hom_k(-,k)$ est le $k\mbox{-dual}$.
Soit $A$ une dg-algèbre de Gorenstein propre et connective.
Un dg-module sur $A$ est à valeurs parfaites si son complexe sous-jacent d'espaces
vectoriels est parfait. Nous notons $\pvd(A)$ la catégorie triangulée des dg-modules
à valeurs parfaites.
Un dg-module $M$ sur $A$ dans $\pvd(A)$ est de Cohen–Macaulay si $H^i(M)=0$ et $\Hom_{\D(A)}(M,\Sigma^i A)=0$ pour $i>0$.
Soit $\CM A$ la sous-catégorie de $\pvd(A)$ constituée des dg-modules de Cohen–Macaulay sur $A$.
D'après <cit.>, la catégorie $\CM A$ est une catégorie extriangulée de Frobenius $\Ext\mbox{-}$finie avec $\proj(\CM A)=\add A$.
D'après la Proposition <ref>, la catégorie stable $\CM(A)/[\proj(\CM A)]$ est équivalente à la catégorie des singularités $\pvd(A)/\per(A)$.
Nous verrons dans l'Exemple <ref> que si $\CM_{dg} A$ désigne l'enrichissement différentiel gradué de $\CM A$ hérité
de $\pvd_{dg}(A)$,
alors l'inclusion de $\CM_{dg}(A)$ dans $\pvd_{dg}(A)$ induit une équivalence entre la catégorie dérivée de $\CM_{dg}(A)$ et $\pvd_{dg}(A)$. De plus, cette équivalence induit une équivalence entre la catégorie des singularités de $\CM_{dg}(A)$ et celle de $A$, de manière parfaitement analogue à la situation d'une algèbre d'Iwanaga–Gorenstein de dimension finie concentrée en degré $0$.

On peut facilement généraliser les résultats de l'Exemple <ref> à la situation de réduction bousculante (silting) au sens d'Iyama–Yang [71] :
Soit $\T$ une catégorie triangulée algébrique et $\P$ une sous-catégorie prébousculante de
$\T$, c'est-à-dire une sous-catégorie pleine telle que $\Hom_{\T}(\P,\Sigma^{i}\P)=0$ pour $i>0$.
Soit $\mathcal S$ la sous-catégorie épaisse de $\T$ engendrée par $\P$.
Soient $\V$ et $\W$ les sous-catégories pleines suivantes de $\T$ :

\[
\V=\{X|\Hom_{\T}(X,\Sigma^{i}\P)=0 \text{ pour $i>0$}\} \quad \W=\{X|\Hom_{\T}(\P,\Sigma^{i}X)=0 \text{ pour $i>0$}\}.
\]

Posons $\Z=\V\cap \W$.
Alors $\Z$ est stable par extensions dans $\T$ et donc est canoniquement extriangulée. Notons que les objets dans $\P$ sont projectifs-injectifs dans $\Z$.
Supposons que $\Z$ est une catégorie extriangulée de Frobenius dont les objets projectifs-injectifs sont les objets dans $\P$, c'est-à-dire que $(\Z,\Z)$ est une paire de
$\P$-mutation <cit.>.
Par exemple, cela est vrai lorsque $\P$ est  finie à gauche[les restrictions à $\P$
des foncteurs $\Hom(?,V)$, $V\in \V$, sont de type finie, par exemple si l'inclusion de $\P$ dans
$\V$ admet un adjoint à gauche] dans $\V$
et finie à droite dans $\W$.
Dans ce cas, le quotient additif $\Z/[\P]$ est canoniquement une catégorie triangulée.
Supposons en outre que $\Z$ engendre $\T$ en tant que catégorie triangulée. Cela est vrai si et seulement si pour chaque objet $X\in \T$, on a $\Sigma^{-l}X\in \V$ et $\Sigma^{l}X\in \W$ lorsque $l\gg 0$.
Si nous remplaçons les catégories ci-dessus par leurs dg-enrichissements, alors la  de $\Z$ porte une structure dg exacte canonique dont la dg-catégorie dérivée bornée est $\T$ et dont la dg-catégorie des singularités est $\T/\mathcal S$.
Des considérations similaires s'appliquent au cas spécial de <cit.> où la paire de torsion $\mathcal S=\X\perp \Y$ est une t-structure.

Les dg-catégories exactes apparaissent également naturellement dans le contexte de la catégorification des algèbres amassées à coefficients. Ces algèbres amassées sont associées à des carquois glacés, qui sont des carquois munis d'un sous-carquois gelé (pas nécessairement plein). Pour réaliser la catégorification, on munit un tel
carquois glacé d'un potentiel non dégénéré.
Dans sa thèse [142, 144, 143], Yilin Wu a construit une catégorie extriangulée de Frobenius, la catégorie de Higgs, pour chaque carquois glacé à potentiel Jacobi-fini. Sa construction généralise les catégories de modules sur les algèbres préprojectives utilisées avec beaucoup de succès par Geiss–Leclerc–Schröer [46, 45, 44, 43]. La catégorie de Higgs est une sous-catégorie stable par extensions d'une catégorie triangulée algébrique canonique (la catégorie amassée relative) et possède donc une dg-enrichissement canonique. Précisons cela davantage (nous utilisons les notations de [144]): soit $(Q,F,W)$ un carquois glacé à potentiel Jacobi-fini. Notons $\Gamma_{rel}$ la dg-algèbre de Ginzburg
relative $\Gamma_{rel}(Q,F,W)$. Soit $e=\sum_{i\in F}e_i$ l'idempotent associé à tous les sommets gelés. Soit $\pvd_{e}(\Gamma_{rel})$ la sous-catégorie pleine des dg-modules sur $\Gamma_{rel}$ dont la restriction aux sommets gelés est acyclique.
Alors la catégorie amassée relative $\C=\C(Q,F,W)$ associée à $(Q,F,W)$ est définie comme le quotient de Verdier

\[
\per(\Gamma_{rel})/\pvd_{e}(\Gamma_{rel}).
\]

Soit $\mathcal P=\add(e\Gamma_{rel})$. Le domaine fondamental relatif $\mathcal F^{rel}_{\Gamma_{rel}}=\mathcal F^{rel}$ associé à $(Q,F,W)$ est défini comme la sous-catégorie suivante de $\per(\Gamma_{rel})$

\[
\mathcal F^{rel}{\coloneqq}\{\Cone(X_1\xrightarrow{f}X_0) | X_i\in\add(\Gamma_{rel}) \text{ et } \Hom(f,I) \text{ est surjective}, \forall I\in \mathcal P\}.
\]

Étant donné que $\add{\Gamma_{rel}}$ est prébousculant dans $\per\Gamma_{rel}$,
la sous-catégorie pleine

\[
\]

est stable par extensions dans $\per\Gamma_{rel}$ et hérite donc d'une structure extriangulée canonique.
Ensuite, $\F^{rel}$ peut également être décrit comme la sous-catégorie stable par extensions de $\Z'$ et formée des objets $X$ qui sont relativement $\mathbb E$-projectifs par rapport à $\P$, c'est-à-dire les objets $X$ tels que $\Ext^1_{\T}(X,\P)=0$. Soit $\pi^{rel}:\per(\Gamma_{rel})\rightarrow \C$ le foncteur quotient canonique. La catégorie de Higgs $\mathcal H$ est l'image de $\mathcal F^{rel}$ dans $\C$ par le foncteur quotient $\pi^{rel}$. D'après <cit.>, la catégorie de Higgs $\mathcal H$ est stable par extensions dans $\C$ et, dotée de la structure extriangulée héritée, devient une catégorie extriangulée de Frobenius dont la sous-catégorie des projectifs-injectifs est $\P$.
Nous remplaçons les catégories précédentes par leurs dg-enrichissements. Le dg-foncteur canonique $\tau_{\leq 0}\F^{rel}\rightarrow \tau_{\leq 0}\mathcal H$ est une quasi-équivalence et la structure dg exacte sur $\tau_{\leq 0}\F^{rel}$ est une sous-structure de celle sur $\tau_{\leq 0}\mathcal H$. Par le Théorème <ref>, la dg-catégorie sous-jacente $\tau_{\leq 0}\F^{rel}$ possède la plus grande structure exacte. Si nous prenons la sous-structure exacte de la plus grande structure exacte qui rend les objets de $\P$ projectifs-injectifs, nous retrouvons la dg-catégorie exacte $\tau_{\leq 0}\mathcal H$. Nous verrons à la Section <ref> que la catégorie dérivée bornée de $\tau_{\leq 0}\F^{rel}$ est $\per\Gamma_{rel}$. La catégorie dérivée bornée de
$\tau_{\leq 0}\mathcal H$ est $\C$ et la catégorie des singularités de $\tau_{\leq 0}\mathcal H$ est la catégorie amassée associée au carquois à potentiel $(\overline Q,\overline W)$, où $\overline{Q}$ est le carquois obtenu à partir de $Q$ en supprimant tous les sommets gelés et toutes les flèches incidentes aux sommets gelés, et $\overline W$ est le potentiel sur $\overline Q$ obtenu en supprimant tous les cycles passant par les sommets de $F$ dans $W$.

§.§ $\infty$-catégories stables et $\infty$-catégories exactes

La notion d'ensemble simplicial a été introduite dans [31] comme un affinement de la notion de complexe simplicial.
Boardman–Vogt <cit.> ont utilisé la condition de Kan restreinte pour définir la notion de complexe de Kan faible (= quasicatégorie = $\infty$-catégorie) dans la catégorie des ensembles simpliciaux.
Chaque petite catégorie peut être vue comme une $\infty$-catégorie via le foncteur nerf $N$.
À chaque ensemble simplicial $X$, on peut associer sa catégorie homotopique $h(X)$.
Elle a une description simple lorsque $X$ est une $\infty$-catégorie, cf. [14].
La théorie des quasicatégories a été considérablement développée par Joyal et Lurie, entre autres, cf. [104, 101, 76, 23].
Lurie [103], cf. aussi [101] et [136], a introduit la notion de $\infty$-catégorie stable, basée sur les techniques étudiées dans son livre [104], et a montré que la catégorie homotopique d'une $\infty$-catégorie stable est canoniquement triangulée.
Les catégories triangulées ainsi obtenues sont appelées topologiques.
Le foncteur dg-nerf $N_{dg}$ a été introduit dans [101] comme un outil clé reliant les dg-catégories aux $\infty$-catégories.
Il a montré qu'il existe une adjonction de Quillen entre la structure de modèle de Joyal pour les $\infty$-catégories et la structure de modèle de Dwyer–Kan pour les dg-catégories.
Faonte a démontré dans son article [39] que le dg-nerf d'une dg-catégorie pré-triangulée est une $\infty$-catégorie stable, où il a généralisé le foncteur dg-nerf au foncteur
nerf simplicial reliant les $A_{\infty}$-catégories aux $\infty$-catégories.
Barwick a introduit la notion de $\infty$-catégorie exacte dans [8] en tant que généralisation homotopique de la notion de catégorie exacte de Quillen.
La construction $Q$ de Quillen a également été généralisée à ce cadre, cf. [7].
Dans [110], il a été démontré que la catégorie homotopique d'une $\infty$-catégorie exacte $\E$ porte une structure extriangulée canonique.
Les catégories extriangulées obtenues ainsi sont appelées topologiques.
Klemenc [91] a construit, pour chaque petite $\infty$-catégorie exacte $\E$, l'enveloppe stable $\D^b_{\infty}(\E)$ avec un foncteur pleinement exact et pleinement fidèle $\eta_{\E}:\E\rightarrow \D^b_{\infty}(\E)$ dont l'image essentielle est stable par extensions.
Étant donné que la catégorie homotopique de $\D^b_{\infty}(\E)$ est triangulée (d'après le théorème de Lurie), cela donne une autre preuve du résultat de Nakaoka–Palu.
Par rapport aux dg-catégories, les espaces de morphismes dans les quasi-catégories ne sont pas faciles à manipuler.
C'est l'une de nos motivations pour introduire la notion de dg-catégorie exacte.

§.§ Dg-catégories exactes

Soit $\A$ une dg-catégorie. Pour simplifier, nous supposons que $\A$ est connective, a des complexes Hom cofibrants et que $Z^0(\A)$ est additive.
Nous utilisons les notations introduites dans la section <ref>.

La catégorie carrée $\mathrm{Sq}$ est la catégorie des chemins du carquois

\[
\begin{tikzcd}
00\ar[r,"f"]\ar[d,"g"swap] & 01\ar[d,"j"] \\
10\ar[r,"k"swap] & 11
\end{tikzcd}
\]

avec la relation de commutation $jf\sim kg$.
Nous identifions les objets $X\in\rep(k\mathrm{Sq},\A)$ avec les carrés commutatifs

\begin{equation}
\begin{tikzcd}\label{D(Sq)1}
\end{tikzcd}
\end{equation}

dans $\C(\A)$ où $jf=kg$.
[Définition <ref>]
Un objet $X\in \rep(k\Sq,\A)$ est un carré cartésien homotopique par rapport à $\A$ si l'application canonique $X_{00}\rightarrow \Sigma^{-1}\mathrm{Cone}((-j,k))$ induit un isomorphisme

\[
\tau_{\leq 0}\RHom_\A(A^{\wedge},X_{00})\rightarrow \tau_{\leq 0}\RHom_\A(A^{\wedge}, \Sigma^{-1}\mathrm{Cone}((-j,k)))
\]

dans $\D(k)$ pour chaque $A$ dans $\A$.

De manière duale, on peut définir la notion de carré cocartésien homotopique et ensuite définir la notion de carré bicartésien homotopique.
Nous prenons souvent une résolution cofibrante $\overline{\Sq}\rightarrow \Sq$ de $\Sq$, cf. Section <ref>, et via l'équivalence de catégories $\rep(k\overline{\Sq},\A)\rightarrow\rep(k\Sq,\A)$ nous identifions les objets des deux côtés.
Un avantage est que nous pouvons supposer que tous les termes d'un objet $X\in \rep(k\overline{\Sq},\A)$ sont des modules dg représentables (et pas seulement quasi-représentables).

Soit $\I$ la dg-catégorie des chemins du carquois à relations suivant

\begin{equation}\label{quiv1:3term}
\begin{tikzcd}
0\ar[r,"f",""{swap, name=1}]&1\ar[r,"g",""{swap,name=2}]&2\ar[r,from=1,to=2,dashed,no head,swap,bend right =8ex]
\end{tikzcd}
\end{equation}

où $f$ et $g$ sont des morphismes fermés de degré 0 et $gf=0$.
La catégorie $\mathcal H_{3t}(\A)$ des complexes homotopiques à 3 termes (=3-term h-complexes) sur $\A$ est définie comme la catégorie de 0-homologie $H^0(\Fun_{\infty}(\I,\A))$ de la dg-catégorie $\Fun_{\infty}(\I,\A)$ des $A_{\infty}$-foncteurs
(pas des $\infty$-foncteurs !) de $\I$ à $\A$, cf. Définition <ref>.
Soit $\J$ la dg-catégorie des chemin du carquois différentiel gradué suivant

\begin{equation}\label{quiv1:3termcofibrant}
\begin{tikzcd}
0\ar[r,"f"]\ar[rr,"h"swap,bend right=6ex]&1\ar[r,"g"]&2
\end{tikzcd}
\end{equation}

où $f$ et $g$ sont des morphismes fermés de degré 0 et $h$ est de degré $-1$ tel que $gf=-d(h)$.
Alors les complexes homotopiques à 3 termes sur $\A$ peuvent être identifiés avec
les dg-foncteurs de $\J$ à $\A$.
Nous identifions donc les objets dans $\mathcal H_{3t}(\A)$ avec les diagrammes dans $\A$

\begin{equation}\label{intro1:F}
\begin{tikzcd}
&A_0\ar[r,"f"]\ar[rr,bend right = 8ex,"h"swap]&A_1\ar[r,"j"]&A_2
\end{tikzcd}
\end{equation}

où $|f|=|j|=0$, $|h|=-1$ et $d(f)=0$, $d(j)=0$ et $d(h)=-jf$.
La catégorie $\mathcal H_{3t}(\A)$ est équivalente à la sous-catégorie pleine de $\rep(\Sq,\A)$ constituée des objets $X$ tels que $X_{10}$ est acyclique.
Un h-complexe à 3 termes <ref> est homotopiquement exact (resp. à gauche, à droite) si l'objet correspondant dans $\rep(k\Sq, \A)$ est homotopiquement bicartésien (resp. cartésien, cocartésien).
[Lemme <ref>]
Un h-complexe à 3 termes <ref> est homotopiquement exact à gauche si et seulement si les conditions suivantes sont satisfaites :
pour chaque $A\in\A$ et $n\leq 0$ et chaque paire de morphismes $(v,w)\in Z^{n}\A(A,A_1)\times \A^{n-1}(A,A_2)$ tels que $d(w)=-jv$, il existe un morphisme $u\in Z^n \A(A,A_0)$, unique à un
cobord près, tel qu'il existe une paire de morphismes $(v',w')\in \A^{n-1}(A,A_1)\times \A^{n-2}(A,A_2)$ satisfaisant $v-fu=d(v')$, $w-hu=-d(w')-jv'$.

Il est clair par ce lemme que l'on peut faire de la chasse aux diagrammes en utilisant des suites
homotopiquement exactes.
Nous utilisons cette description pour prouver certains lemmes sur les diagrammes au Chapitre <ref>.
Il convient de noter que bien que parfois les résultats homologiques dans les catégories triangulées soient applicables, le point subtil réside dans la vérification de la compatibilité des homotopies, cf. Proposition <ref>.

[Définition <ref>]
Une structure exacte sur $\A$ est une classe $\mathcal{S}\subseteq \mathcal{H}_{3t}(\A)$ stable par isomorphismes, constituée de suites homotopiquement exactes (appelées conflations)

\[
\begin{tikzcd}
A\ar[r, tail,"i"]\ar[rr,bend right=8ex,"h"swap]&B\ar[r, two heads, "p"]&C\\
\end{tikzcd}
\]

où $i$ est appelé une inflation et $p$ est appelé une déflation, telles que les axiomes suivants soient satisfaits :

Ex0 $\Id_{0}$ est une déflation.

Ex1 Les compositions de déflations sont des déflations.

Ex2 Étant donné une déflation $p:B\rightarrow C$ et toute application $c: C'\rightarrow C$ dans $Z^0(\A)$, l'objet

\[
\begin{tikzcd}
\end{tikzcd}
\]

admet un pullback homotopique

\[
\begin{tikzcd}
\end{tikzcd}
\]

et ${p'}$ est également une déflation.

$\Ex2^{op}$ Étant donnée une inflation $i: A\rightarrow B$ et toute application $a:A\rightarrow A'$ dans $Z^0(\A)$, l'objet

\[
\begin{tikzcd}
\end{tikzcd}
\]

admet un pushout homotopique

\[
\begin{tikzcd}
\end{tikzcd}
\]

et ${i'}$ est également une inflation.

Nous appelons $(\A,\mathcal {S})$ ou simplement $\A$ une dg-catégorie exacte.

[Théorème <ref>]
Soit $\A$ une petite dg-catégorie exacte.
Si $\B$ est une petite dg-catégorie connective, alors $\rep_{dg}(\B,\A)$ est canoniquement une dg-catégorie exacte.

[Théorème <ref>]
Soit $\A$ une dg-catégorie exacte.
Il existe un morphisme exact universel $F:\A\rightarrow \D^b_{dg}(\A)$ dans $\Hqe$ de $\A$ vers une dg-catégorie prétriangulée $\D^b_{dg}(\A)$. Si de plus $\A$ est connective, ce morphisme vérifie les propriétés suivantes :

1) Il induit une quasi-équivalence de $\tau_{\leq 0}{\A}$ vers $\tau_{\leq 0}\D'$ pour une
sous-dg-catégorie $\D'$ de $\D^b_{dg}(\A)$ stable par extensions.

2) Il induit une bijection naturelle $\mathbb E(C,A)\xrightarrow{\sim} \Ext^1_{\D^b(\A)}(FC,FA)$
pour chaque paire d'objets $C,A$ dans $H^0(\A)$ où $\D^b(\A)=H^0(\D^b_{dg}(\A))$.

Nous appelons $\D^b_{dg}(\A)$ la dg-catégorie dérivée bornée de $\A$.

Nous construisons $\D^b_{dg}(\A)$ comme le dg-quotient de l'enveloppe pré-triangulée $\pretr(\A)$ par une sous-dg-catégorie pleine $\N$, qui généralise la dg-catégorie des complexes acycliques d'une catégorie exacte de Quillen. Nous en déduisons que si $\A$ est une catégorie exacte de Quillen, alors $\D^b_{dg}(\A)$ est quasi-équivalente au dg-enrichissement canonique de la catégorie dérivée bornée de $\A$, d'où le nom et la notation.

Le plongement universel $\A\rightarrow \D^b_{dg}(\A)$ permet de démontrer des lemmes diagrammatiques pour les dg-catégories exactes qui peuvent être difficile à prouver directement.
Par exemple, soit $\J$ la dg-catégorie de (<ref>) et soit $F: \J\rightarrow \rep_{dg}(\J,\A)$ un dg-foncteur tel que $F(0)$ et $F(2)$ sont toutes les deux des conflations dans $\A$. Soit
$F_i: \J\rightarrow \A$ la composition de $F$ avec $\rep_{dg}(\J,\A)\rightarrow \A$, induite par l'inclusion $i:k\rightarrow \J$ pour $i=0$, $1$ et $2$. Si tous les $F_i$ sont des conflations dans $\A$, alors $F(1)$ est également une conflation dans $\A$. Ce `lemme diagrammatique' est l'ingrédient principal de la démonstration du Lemme <ref>.

Le foncteur dg-nerf $N_{dg}$ envoie chaque petite dg-catégorie exacte sur une $\infty$-catégorie exacte. De plus, nous avons le théorème suivant.
[Théorème <ref>]
Soit $\A$ une dg-catégorie telle que $H^0(\A)$ est une catégorie additive. Alors il existe une bijection entre la classe des structures exactes sur la dg-catégorie $\A$ et la classe des structures exactes sur la $\infty$-catégorie $N_{dg}(\A)$. De plus, si $\A$ est une dg-catégorie pré-triangulée munie de la structure exacte maximale (donnée par toutes les suites exactes homotopiques), alors son dg-nerf est une $\infty$-catégorie stable munie de la structure exacte maximale (où chaque morphisme est à la fois une inflation et une déflation).

Cela étend en particulier un théorème de Faonte [39], qui a montré que si une dg-catégorie est pré-triangulée, alors son dg-nerf est une $\infty$-catégorie stable.

Soit $(\C,\mathbb E,\mathfrak s)$ une petite catégorie extriangulée. Pour $n\geq 0$, Gorsky–Nakaoka–Palu [52] ont défini le bimodule des extensions supérieures $\mathbb E^{n}(?,-)$ sur $\C$ comme la puissance tensorielle $n$-ième sur $\C$ de $\mathbb E$. Un $\delta$-foncteur est un triplet $(T,\epsilon,\eta)$ où $T=(T^i)_{i\geq 0}$ est une séquence de $\C$-$\C$-bimodules et $\epsilon$ et $\eta$ sont des collections de morphismes de connexion satisfaisant certaines conditions, cf. Définition <ref>. Il est clair à partir de la définition que $(\mathbb E^n)_{n\geq 0}$ avec les morphismes de connexion associés est un $\delta$-foncteur. En utilisant un résultat général concernant les $\delta$-foncteurs avec des bimodules $T^i$ faiblement effaçables pour $i>0$, cf. Corollaire <ref>, nous avons le résultat suivant.

Soit $F:\A\rightarrow \D^{b}_{dg}(\A)$ le morphisme exact universel de $\A$ vers une catégorie prétriangulée. Alors nous avons un isomorphisme canonique de $\delta$-foncteurs $\alpha:\mathbb E^n(?,-)\xrightarrow{\sim} \Ext^n_{\D^b(\A)}(?,-)$.

Un résultat similaire pour les $\infty$-catégories exactes est également valable. En conséquence, pour une dg-catégorie exacte $\A$, l'enveloppe stable de $N_{dg}(\A)$ est canoniquement équivalente à $N_{dg}(\D^b_{dg}(\A))$.

Pour une catégorie extriangulée $\C$ avec une sous-catégorie $\P$ constituée d'objets projectifs-injectifs (non nécessairement tous) dans $\C$, Nakaoka–Palu ont montré que le quotient additif $\C/\P$ a la structure d'une catégorie extriangulée, induite à partir de celle de $\C$, cf. <cit.>. Le théorème suivant améliore leur résultat.
[Théorème <ref>]
Soit $\A$ une dg-catégorie exacte et $\P$ une sous-catégorie pleine de $\A$ constituée d'objets projectifs-injectifs dans $\A$. Soit $\mathcal S_{dg}$ l'enrichissment différentiel gradué canonique de $\D^b(\A)/\tr(\P)$. Alors le dg-quotient $\A/\P$ possède une structure dg exacte canonique induite par celle de $\A$ et sa dg-catégorie dérivée est quasi-équivalente à $\mathcal S_{dg}$.

Soient $\A$ et $\A'$ des dg-catégories exactes connectives et $\C$ une dg-catégorie exacte arbitraire. Un morphisme $\mu: \A\otimes \A'\rightarrow \C$ dans $\Hqe$ est biexact si, pour tous les objets $A\in \A$ et $A'\in \A'$, les morphismes induits

\[
\mu_{A,-}:\A'\rightarrow \C,\;\;\mu_{-,A'}:\A\rightarrow \C
\]

sont tous les deux des morphismes exacts.
Soit $\A\boxtimes \A'$ la $\tau_{\leq 0 }$-truncation de la fermeture par extensions de l'image quasi-essentielle du morphisme dans $\Hqe$

\[
F: \A\otimes \A'\rightarrow \D^b_{dg}(\A)\otimes\D^b_{dg}(\A')\rightarrow \pretr(\D^b_{dg}(\A)\otimes\D^b_{dg}(\A')).
\]

La morphisme naturel $\A\otimes \A'\rightarrow \A\boxtimes \A'$ est le morphisme biexact universel dans $\Hqe$ de $\A\otimes \A'$ vers une dg-catégorie exacte.

Soient $\B$ et $\C$ des dg-catégories exactes connectives.
Soit $\rep_{dg}^{ex}(\B,\C)$ la sous-dg-catégorie pleine $\rep_{dg}(\B,\C)$ constituée des morphismes exacts.
Il est démontré au Lemme <ref> que $\rep_{dg}^{ex}(\B,\C)$ est stable par extensions dans $\rep_{dg}(\B,\C)$ et hérite donc d'une structure dg exacte canonique.
[Corollaire <ref>]
Soient $\A$ et $\B$ de petites dg-catégories exactes connectives. Soit $\C$ une petite dg-catégorie exacte.
Alors nous avons la bijection naturelle suivante

\[
\Hqe_{ex}(\A\boxtimes \B,\C)\iso \Hqe_{ex}(\A,\rep_{dg}^{ex}(\B,\C)).
\]

Soit $(\C,\mathbb E,\mathfrak s)$ une petite catégorie extriangulée.
Le défaut d'une $\mathfrak s$-conflation

\[
\]

est défini comme le conoyau du morphisme de $\C$-modules à droite $\C(?,B)\xrightarrow{(?,y)}\C(?,C)$.
La sous-catégorie pleine de la catégorie des modules $\Mod\C$ dont les objets sont les défauts est notée
$\Def\mathbb E$. Elle a été introduite dans cette généralité par Ogawa dans [117]
et étudiée plus en détail par Enomoto [33], qui a montré que $\Def \mathbb E$ est
une sous-catégorie de Serre de la catégorie abélienne des $\C$-modules cohérents et que l'application
qui associe à un sous-bifoncteur fermé de $\mathbb E$ sa catégorie de défauts est un isomorphisme de
posets sur le poset des sous-catégories de Serre de $\Def \mathbb E$.
Si $\A$ est une dg-catégorie exacte connective, alors $\Def H^0(\A)$ est équivalente
au cœur d'une $t$-structure sur la catégorie $\N$ des complexes `acycliques', cf.
la remarque après le Théorème <ref>.

[Théorème <ref>]
Soit $(\A,\mathcal S)$ une dg-catégorie exacte et $(H^0(\A),\mathbb E,\mathfrak s)$ la catégorie extriangulée algébrique associée.
Les posets suivants (où les relations d'ordre sont données par l'inclusion) sont canoniquement isomorphes :

(1)Le poset des sous-structures exactes de $(\A,\mathcal S)$.

(2)Le poset des sous-bifoncteurs fermés de $\mathbb E$.

(3)Le poset des sous-catégories de Serre de $\Def\mathbb E$.

Ici, l'isomorphisme entre les posets (2) et (3) découle du théorème d'Enomoto [33].

Dans [125], Rump a démontré que toute catégorie additive possède une plus grande structure exacte, ce qui généralise les résultats de [129, 25].
Le théorème suivant généralise le résultat de Rump aux dg-catégories additives.
[Théorème <ref>]
Chaque dg-catégorie additive $\A$ admet une plus grande structure exacte  (c'est-à-dire maximale unique).

Il n'est pas clair comment formuler, et encore moins comment démontrer, un énoncé
analogue pour les structures extriangulées.

§ INTRODUCTION (ENGLISH VERSION)

§.§ Overview

In this thesis, we introduce and study the notion of exact dg category.
We illustrate the position of this class of categories among the other types of
categories that we will consider in this thesis in the following diagram

\[
\begin{tikzcd}
&\{\text{pretri. dg cat.}\}\ar[rd,red]\ar[rr,"N_{dg}"{description,near start},hook]\ar[dd,hook]&&\{\text{stable $\infty$-cat.}\}\ar[dd,hook]\ar[ld,red]\\
&&\{\text{tri. cat.}\}\ar[dd,hook]&\\
\{\text{Quillen ex. cat.}\}\ar[r,hook]\ar[rrd,hook]&\{\text{ex. dg cat.}\}\ar[rr,hook,"N_{dg}"{description,near start}]\ar[rd,red]&&\{\text{Barwick ex. $\infty$-cat.}\}\ar[ld,red]\\
&&\{\text{extri. cat.}\}&
\end{tikzcd}
\]

Here, the black arrows denote inclusions of classes and the red arrows send a dg category (respectively an
$\infty$-category)  $\A$ to $H^0(\A)$ (respectively $h\A$). As we see in the diagram, the notion of an exact dg category is

1) a dg version of Barwick's [8] notion of exact $\infty$-category;

2) a simultaneous generalization of the notions of exact category in the sense of Quillen [122] and of
pretriangulated dg category in the sense of Bondal–Kapranov [15] and

3) a dg enhancement of the notion of extriangulated category in the sense of Nakaoka–Palu
[111] in analogy with Bondal–Kapranov's dg enhancement of the notion of triangulated category.

We also have characterizations of some of the subclasses occuring in the diagram:

1) an extriangulated category is a Quillen exact category if and only if any inflation is monomorphic and any deflation is epimorphic, cf. <cit.>;

2) an extriangulated category is a triangulated category if and only it is a Frobenius extriangulated category whose
projective-injectives are the zero objects, cf. <cit.>;

3) an exact dg category is quasi-equivalent to a Quillen exact category if and only if the underlying dg category has its
homology concentrated in degree zero;

4) a connective exact dg category is quasi-equivalent to the $\tau_{\leq 0}$-truncation of a pretriangulated dg category
if and only if its zeroth homology category is canonically triangulated, cf. Example <ref>.

More details on these classes and the historical developments are given in the following subsections.
Let us emphasize that our notion of exact dg category is completely different from Positselski's notion
of exact DG-category [119]. For example, an exact structure in our sense can be
transported along a quasi-equivalence, cf.  Remark <ref> b), which is not at all the case for exact structures in the sense of Positselski. His principal motivation is to axiomatise
situations where we have a pretriangulated dg category $\A$ whose category $Z^0(\A)$
is moreover endowed with a Quillen exact structure (for example the category of all
complexes with components in a given Quillen exact category). By contrast, we aim at axiomatising
a class of not necessarily pretriangulated dg categories endowed with additional

§.§ Exact categories

The notion of exact category was introduced by Quillen in [122] in order to define
his higher algebraic $K$-theory (idempotent complete exact categories were introduced 15 years earlier
by Heller [61]).
Loosely speaking, an exact category is an additive category $\E$ together with a class of kernel-cokernel pairs called conflations

\[
\begin{tikzcd}
L\ar[r,tail,"i"]&M\ar[r,two heads,"p"]&N
\end{tikzcd}
\]

where $i$ is called an inflation and $p$ is called a deflation, which satisfies certain axioms.
The list of axioms has been reduced to “the" minimum by Keller in <cit.>.
Notably, Quillen's obscure axiom is redundant and can be deduced from the other axioms, cf. also in <cit.>.
For a comprehensive treatment of Quillen's exact category, we refer to Bühler's survey [19]. For a study of higher extension groups in an exact category, we refer to the lecture notes [40].
Quillen stated and Thomason–Trobaugh [133] proved
that for an essentially small exact category $\E$, there is an exact equivalence $G:\E\rightarrow \C$ onto an extension-closed full subcategory $\C$ of an abelian category such that the functor $G$ is fully exact, i.e. a sequence in $\E$ is a conflation if and only if its image in $\C$ is a short exact sequence, cf. <cit.>.
Quillen used exact categories as a framework for his remarkable $Q$-construction, which is related to the bicategory of spans introduced by Bénabou, cf. <cit.>. The category $Q(\E)$ of an exact category consists of objects in $\E$ and the morphisms from $M$ to $M'$ are given by equivalence class of roofs

\[
\begin{tikzcd}
M&N\ar[l,two heads,"p"swap]\ar[r,tail,"i"]&M'
\end{tikzcd}
\]

where $p$ is a deflation and $i$ is an inflation and two roofs are considered equivalent if there is an isomorphism between the roofs which restricts to the identities of $M$ and of $M'$.
The compositions in $Q(\E)$ are given by pullbacks.
In fact, Quillen's list of axioms is exactly what one needs when forming the $Q$-construction.
The generalization from abelian categories to exact categories allows for more examples, for example the category of free modules over a ring, the category of vector bundles over a scheme, the categories of locally free modules over a generalized preprojective algebra [47], … .

§.§ From triangulated categories to dg categories

On the other hand, in order to prove and formulate his extensions of Serre's duality theorem [54],
Grothendieck invented the notion of derived categories and,
together with his student Verdier, introduced the notion of triangulated category [137].
At almost the same time, Puppe also found the axioms (except the octahedral axiom) for
triangulated categories [121].
For a long time, triangulated categories were perceived to be too coarse to allow the development of
a substantial theory, principally due to the non-functoriality of the mapping cone construction.
This view has changed drastically [112, 115]
but still many operations on derived categories cannot be performed in the framework of triangulated categories,
notably tensor products of triangulated categories and functor categories with target triangulated categories.
A viable solution to this problem is provided by the theory of dg categories.
The notion of dg category already appeared in Kelly's work [89].
In the nineties, Bondal–Kapranov [15] observed that
the morphism spaces of the triangulated categories appearing naturally in algebra
are the zeroth cohomology groups of certain complexes and
it is a principle (popularized by Grothendieck) in homological algebra to consider the complex itself
rather than its cohomology.
Therefore, they proposed to enhance triangulated categories using dg categories,
requiring that the  triangulated structure should be compatible with the  dg structure.
Formalising this idea, they defined the property of a dg category to be pretriangulated and
observed that each dg category can freely generate a pretriangulated dg category.
Soon after, Keller published his seminal paper [79]
discussing homotopy categories and unbounded derived categories of dg categories.
Drinfeld [28] gave an elegant construction of the dg quotient, whose existence
goes back to Keller's [81], and which enhances Verdier's triangle quotient.

§.§ From extriangulated categories to exact dg categories

The notion of an extriangulated category was introduced by Nakaoka–Palu in [111].
It is a simultaneous generalization of Quillen's notion of exact category and
Grothendieck–Verdier's notion of a triangulated category.
Their aim was to give a convenient setup for writing down proofs
which apply to both exact categories and triangulated categories, and more generally to
extension-closed subcategories of triangulated categories.
The theory of extriangulated categories has developed a lot since their introduction in 2019
and many notions and constructions have been generalized to this setting (or the more general
setting of $n$-exangulated categories [63]). Such notions and
constructions include

* cotorsion pairs and their hearts and cohearts, and silting and $n\mbox{-}$cluster tilting subcategories, cf. [111, 96, 22, 2, 69, 3, 146, 148, 100];

* mutations and cluster-tilting theory, cf. [22, 120, 147, 97, 98, 99, 75, 53];

* idempotent completions, cf. [140, 108, 90];

* Auslander–Reiten theory, cf. [70, 132];

* Auslander's formula for the functor category of an extriangulated category, cf. [117];

* substructures of an extriangulated category, cf. [63, 33, 127];

* recollement of extriangulated categories, cf. [139, 58, 67, 106];

* Grothendieck groups of extriangulated categories, cf. [149, 56, 34];

* Hall algebras of extriangulated categories, cf. [138, 36];

* localizations of extriangulated categories, cf. [109, 116, 57];

* …
The study of the class of substructures (=closed subbifunctors) of an exact category already appears in [20], cf. also [4, 27, 18, 36, 6].
Notice that the class of triangulated substructures of a triangulated category only consists of the trivial one.
It would be interesting to find a common generalization of one-sided exact categories and suspended categories, cf. [87, 9].

In analogy with the notion of algebraic triangulated category [85], we define an algebraic extriangulated category
as follows.
[Definition-Proposition <ref>]Let $\C$ be an extriangulated category. The following statements are equivalent:

1) $\C$ is equivalent, as an extriangulated category, to a full extension-closed subcategory of an algebraic
triangulated category.

2) $\C$ is equivalent, as an extriangulated category, to $\B/(\mathcal P_0)$ for a Quillen exact category $\B$ and a class $\mathcal P_0$ of projective-injective objects.

3) $\C$ is equivalent, as an extriangulated category, to $H^0(\A)$ for an exact dg category $\A$.

If one of the above equivalent conditions holds, then $\C$ is called an algebraic extriangulated category.

From the Definition-Proposition, it is clear that the class of algebraic extriangulated categories is stable under
passage to

a) extension-closed subcategories;

b) quotients by ideals generated by identities of projective-injective objects;

c) extriangulated substructures, cf. Corollary <ref>.

We also expect that it is stable under passage to localizations in the sense of
Nakaoka–Ogawa–Sakai [109].
It is also clear that if an algebraic extriangulated category is triangulated, then it is algebraic as a triangulated category.

From part 1) of the Definition-Proposition, it is clear that an algebraic extriangulated category $\C$ has an unbounded bivariant $\delta$-functor in the sense of <cit.>.
In particular, this provides an additive bifunctor $\mathbb E^{-1}$ which is crucial in the study of the poset of
$s$-torsion pairs in an extriangulated category in [1].

§.§ Classes of examples of extriangulated and exact dg categories

The following example is taken from  [74].
Let $k$ be a field.
A dg $k$-algebra $A$ is proper if $\sum_{i\in \mathbb Z}\dim_{k}{H^i(A)<\infty}$.
It is Gorenstein if the thick subcategory $\per(A)$ of the derived category $\D(A)$
generated by $A$ coincides with the thick subcategory $\thick(DA)$ generated by $DA$, where $D=\Hom_k(-,k)$ is the $k\mbox{-dual}$.
Let $A$ be a connective proper Gorenstein dg algebra.
A dg $A\mbox{-}$module is perfectly valued if its total cohomology is finite-dimensional and we denote by $\pvd(A)$ the triangulated category of perfectly valued dg $A\mbox{-}$modules.
A dg $A\mbox{-}$module $M$ in $\pvd(A)$ is Cohen–Macaulay if $H^i(M)=0$ and $\Hom_{\D(A)}(M,\Sigma^i A)=0$ for $i>0$.
Let $\CM A$ be the subcategory of $\pvd(A)$ consisting of Cohen-Macaulay dg $A\mbox{-}$modules.
By <cit.>, the category $\CM A$ is an $\Ext\mbox{-}$finite Frobenius extriangulated category with $\proj(\CM A)=\add A$.
By Proposition <ref>, the stable category $\CM(A)/[\proj(\CM A)]$ is equivalent to the singularity category
We will see in Example <ref> that if $\CM_{dg} A$ denotes the dg enhancement of $\CM A$ inherited from $\pvd_{dg}(A)$,
then the inclusion of $\CM_{dg}(A)$ into $\pvd_{dg}(A)$ induces an equivalence from the derived category of
$\CM_{dg}(A)$ onto $\pvd_{dg}(A)$. Moreover, this equivalence induces an equivalence from the singularity
category of $\CM_{dg}(A)$ onto that of $A$ in complete analogy with the situation for a finite-dimensional
Iwanaga–Gorenstein algebra concentrated in degree $0$.

One can easily generalize the results of Example <ref> to the setup of silting reduction in the sense of
Iyama–Yang [71] (details will appear elsewhere):
Let $\T$ be an algebraic triangulated category and $\P$ a presilting subcategory of $\T$, i.e. a full subcategory such that $\Hom_{\T}(\P,\Sigma^{i}\P)=0$ for $i>0$. Let $\mathcal S$ be the thick subcategory of $\T$ generated by $\P$.
Let $\V$ and $\W$ be the following full subcategories of $\T$ respectively

\[
\V=\{X|\Hom_{\T}(X,\Sigma^{i}\P)=0 \text{ for $i>0$}\} \quad \W=\{X|\Hom_{\T}(\P,\Sigma^{i}X)=0 \text{ for $i>0$}\}.
\]

Put $\Z=\V\cap \W$.
Then $\Z$ is extension-closed in $\T$ and hence is canonically extriangulated. Notice that objects in $\P$ are projective-injective in $\Z$.
Assume that $\Z$ is a Frobenius extriangulated category whose projective-injective objects are the objects in $\P$, i.e. $(\Z,\Z)$ is a $\P$-mutation pair <cit.>.
For example, this holds when $\P$ is covariantly finite in $\V$ and contravariantly finite in $\W$.
In this case, the additive quotient $\Z/[\P]$ is canonically a triangulated category.
Assume further that the $\Z$ generates $\T$ as a triangulated category.
This holds if and only if for each object $X\in \T$, we have $\Sigma^{-l}X\in \V$ and $\Sigma^{l}X\in \W$ when $l\gg 0$.
If we replace the above categories with their dg enhancements, then the  of $\Z$ carries a canonical exact dg structure whose bounded dg derived category is $\T$ and whose dg singularity category is $\T/\mathcal S$.
Similar  considerations apply to the special case of <cit.> where the torsion pair $\mathcal S=\X\perp \Y$ is a
t-structure, cf. Example <ref>.

Exact dg categories also appear naturally in the additive categorification of cluster algebras with coefficients.
Such cluster algebras are associated with ice quivers, i.e. quivers endowed with a (not necessarily full)
frozen subquiver. For the categorification, one endows the ice quiver with a non degenerate potential.
In his thesis [142, 144, 143], Yilin Wu has constructed a Frobenius extriangulated
category, the Higgs category, for each Jacobi-finite ice quiver with potential.
His construction generalizes the categories of modules over preprojective algebras
used with a great success by Geiss–Leclerc–Schröer [46, 45, 44, 43].
The Higgs category is an extension closed subcategory of a canonical ambient algebraic triangulated
category (the relative cluster category) and thus carries a canonical dg enhancement. Let us make
this more precise (we use the notations of [144]): Let $(Q,F,W)$ be a Jacobi-finite ice quiver with potential.
Denote by $\Gamma_{rel}$ the relative Ginzburg dg algebra $\Gamma_{rel}(Q,F,W)$.
Let $e=\sum_{i\in F}e_i$ be the idempotent associated with all frozen vertices.
Let $\pvd_{e}(\Gamma_{rel})$ be the full subcategory of $\pvd(\Gamma_{rel})$ of the dg $\Gamma_{rel}$-modules whose restriction to frozen vertices is acyclic.
Then the relative cluster category $\C=\C(Q,F,W)$ associated to $(Q,F,W)$ is defined as the Verdier quotient of triangulated categories

\[
\per(\Gamma_{rel})/\pvd_{e}(\Gamma_{rel}).
\]

Let $\mathcal P=\add(e\Gamma_{rel})$.
The relative fundamental domain $\mathcal F^{rel}_{\Gamma_{rel}}=\mathcal F^{rel}$ associated to $(Q,F,W)$ is defined as the following subcategory of $\per(\Gamma_{rel})$

\[
\mathcal F^{rel}{\coloneqq}\{\Cone(X_1\xrightarrow{f}X_0) | X_i\in\add(\Gamma_{rel}) \text{ and } \Hom(f,I) \text{ is surjective}, \forall I\in \mathcal P\}.
\]

Since $\add{\Gamma_{rel}}$ is presilting in $\per\Gamma_{rel}$, the full subcategory $\Z'=\add\Gamma_{rel}\ast\add\Sigma\Gamma_{rel}$ is extension-closed in $\per\Gamma_{rel}$ and thus inherits a canonical extriangulated structure.
Then $\F^{rel}$ can also be described as the extension-closed subcategory of $\Z'$ consisting of objects $X$ which are relatively $\mathbb E$-projective with respect to $\P$, i.e. the objects $X$ such that $\Ext^1_{\T}(X,\P)=0$.
Let $\pi^{rel}:\per(\Gamma_{rel})\rightarrow \C$ be the canonical quotient functor.
The Higgs category $\mathcal H$ is the image of $\mathcal F^{rel}$ in $\C$ under the quotient functor $\pi^{rel}$.
By <cit.>, the Higgs category $\mathcal H$ is extension-closed in $\C$ and,
endowed with the inherited extriangulated structure, becomes a Frobenius extriangulated category whose subcategory
of projective-injectives is $\P$.
We replace the above categories by their dg enhancements.
The canonical dg functor $\tau_{\leq 0}\F^{rel}\rightarrow \tau_{\leq 0}\mathcal H$ is a quasi-equivalence and the exact dg structure on $\tau_{\leq 0}\F^{rel}$ is a substructure of that on $\tau_{\leq 0}\mathcal H$.
By Theorem <ref>, the underlying dg category $\tau_{\leq 0}\F^{rel}$ has the greatest exact structure.
If we take the exact substructure of the greatest exact structure which makes the objects in $\P$ projective-injective, then we recover the exact dg category $\tau_{\leq 0}\mathcal H$.
We will see in Section <ref> that the bounded derived category of $\tau_{\leq 0}\F^{rel}$ is $\per\Gamma_{rel}$.
The bounded derived category of $\tau_{\leq 0}\mathcal H$ is $\C$ and the singularity category of $\tau_{\leq 0}\mathcal H$ is the cluster category associated with the quiver with potential $(\overline Q,\overline W)$ where $\overline{Q}$ is the quiver obtained from $Q$ by deleting all frozen vertices and all arrows incident with frozen vertices and $\overline W$ is the potential on $\overline Q$ obtained by deleting all cycles passing through vertices of $F$ in $W$.

§.§ Stable $\infty$-categories and exact $\infty$-categories

The notion of simplicial set was introduced in [31] as a refinement of the notion of simplicial complex.
Boardman–Vogt <cit.> used the restricted Kan condition to define the notion of weak Kan complex (= quasicategory = $\infty$-category) in the category of simplicial sets.
Each small category can be seen as an $\infty$-category via the nerve functor $N$.
To each simplicial set $X$, one can associate its homotopy category $h(X)$.
It has a simple description when $X$ is an $\infty$-category, cf. [14].
The theory of quasicategories has been developed substantially by Joyal and Lurie among others, cf. [104, 101, 76, 23].
Lurie ([103], cf. also [101] and [136]) introduced the notion of stable $\infty$-category, based on the techniques studied in his book [104], and showed that the homotopy category of a stable $\infty$-category is canonically triangulated.
The triangulated categories thus obtained are called topological.
The dg nerve functor $N_{dg}$ was introduced in [101] as a key tool linking dg categories with $\infty$-categories.
He showed that there is a Quillen adjunction between the Joyal model structure for $\infty$-categories and the Dwyer–Kan model structure for dg categories.
Faonte showed that the dg nerve of a pretriangulated dg category is a stable $\infty$-category in
his paper [39], where he generalized the dg nerve functor to the simplicial nerve functor
linking $A_{\infty}$-categories to $\infty$-categories.
Barwick introduced the notion of exact $\infty$-category in [8] as a homotopy-theoretic
generalization of Quillen's notion of exact category.
Quillen's $Q$-construction has also been generalized to this setting, cf. [7].
In [110], it was shown that the homotopy category of an exact $\infty$-category $\E$ carries a canonical extriangulated structure.
The extriangulated categories obtained are called topological.
Klemenc [91] constructed, for each small exact $\infty$-category $\E$, the stable hull $\D^b_{\infty}(\E)$ together with a fully exact fully faithful functor $\eta_{\E}:\E\rightarrow \D^b_{\infty}(\E)$ whose essential image is closed under extensions.
Since the homotopy category of  $ \D^b_{\infty}(\E)$ is triangulated (by Lurie's theorem), this gives another
proof of the result by Nakaoka–Palu.
Compared with dg categories, the morphism spaces in quasicategories are not easy to handle.
This is one of our motivations to introduce the notion of exact dg category.

§.§ Exact dg categories

Let $\A$ be a dg category. For simplicity, we assume that $\A$ is connective and has cofibrant Hom complexes and that $Z^0(\A)$ is additive. We use the notations introduced in Section <ref>.

The square category $\mathrm{Sq}$ is the path category of the quiver

\[
\begin{tikzcd}
00\ar[r,"f"]\ar[d,"g"swap] & 01\ar[d,"j"] \\
10\ar[r,"k"swap] & 11
\end{tikzcd}
\]

with the commutativity relation $jf\sim kg$.
We identify objects $X\in\rep(k\mathrm{Sq},\A)$ with commutative squares

\begin{equation}
\begin{tikzcd}\label{D(Sq)}
\end{tikzcd}
\end{equation}

in $\C(\A)$ where $jf=kg$.

An object $X\in \rep(k\Sq,\A)$ is a homotopy cartesian square with respect to $\A$ if the canonical map $X_{00}\rightarrow \Sigma^{-1}\mathrm{Cone}((-j,k))$ induces an isomorphism

\[
\tau_{\leq 0}\RHom_\A(A^{\wedge},X_{00})\rightarrow \tau_{\leq 0}\RHom_\A(A^{\wedge}, \Sigma^{-1}\mathrm{Cone}((-j,k)))
\]

in $\D(k)$ for each $A$ in $\A$.

Dually one can define the notion of homotopy cocartesian square and then define the notion of homotopy bicartesian square.
We often take a cofibrant resolution $\overline{\Sq}\rightarrow \Sq$ of $\Sq$, cf. Section <ref>, and via the equivalence of categories $\rep(k\overline{\Sq},\A)\rightarrow\rep(k\Sq,\A)$ we identify objects on both sides.
One advantage is that we may assume that
all terms in an object $X\in \rep(k\overline{\Sq},\A)$ are representable (and not just quasi-representable) dg modules.

Let $\I$ be the dg $k$-path category of the following quiver with relations

\begin{equation}\label{quiv:3term}
\begin{tikzcd}
0\ar[r,"f",""{swap, name=1}]&1\ar[r,"g",""{swap,name=2}]&2\ar[r,from=1,to=2,dashed,no head,swap,bend right =8ex]
\end{tikzcd}
\end{equation}

where $f$ and $g$ are closed of degree 0 and $gf=0$.
The category $\mathcal H_{3t}(\A)$ of 3-term homotopy complexes (=3-term h-complexes) over $\A$ is defined to be the 0-th homology category $H^0(\Fun_{\infty}(\I,\A)))$ of the dg category $\Fun_{\infty}(\I,\A)$ of $A_{\infty}$-functors
(not $\infty$-functors!) from $\I$ to $\A$, cf. Definition <ref>.
Let $\J$ be the dg $k$-path category of the following graded quiver with relations

\begin{equation}\label{quiv:3termcofibrant}
\begin{tikzcd}
0\ar[r,"f"]\ar[rr,"h"swap,bend right=6ex]&1\ar[r,"g"]&2
\end{tikzcd}
\end{equation}

where $f$ and $g$ are closed of degree 0 and $h$ is of degree $-1$ such that $gf=-d(h)$.
Then 3-term homotopy complexes over $\A$ can be identified with dg functors from $\J$ to $\A$.
So we identify objects in $\mathcal H_{3t}(\A)$ with diagrams in $\A$

\begin{equation}\label{intro:F}
\begin{tikzcd}
&A_0\ar[r,"f"]\ar[rr,bend right = 8ex,"h"swap]&A_1\ar[r,"j"]&A_2
\end{tikzcd}
\end{equation}

where $|f|=|j|=0$, $|h|=-1$ and $d(f)=0$, $d(j)=0$ and $d(h)=-jf$.
The category $\mathcal H_{3t}(\A)$ is equivalent to the full subcategory of $\rep(\Sq,\A)$ consisting of objects $X$ such $X_{10}$ is acyclic.
A 3-term h-complex <ref> is homotopy (resp. left, right ) short exact if the corresponding object in $\rep(k\Sq, \A)$ is homotopy bicartesian (resp. cartesian, cocartesian).

A 3-term h-complex <ref> is homotopy left short exact if and only if the following holds:
for each $A\in\A$ and $n\leq 0$ and each pair of morphisms $(v,w)\in Z^{n}\A(A,A_1)\times \A^{n-1}(A,A_2)$ such that $d(w)=-jv$, there exists a morphism $u\in Z^n \A(A,A_0)$, unique up to a coboundary, such that there exists a pair of morphisms $(v',w')\in \A^{n-1}(A,A_1)\times \A^{n-2}(A,A_2)$ satisfying $v-fu=d(v')$, $w-hu=-d(w')-jv'$.

It is clear from this lemma that one can do diagram chasing using homotopy short exact sequences.
We use this description to prove some diagram lemmas in Chapter <ref>.
It is worth noting that while sometimes homological results in triangulated categories are applicable, the subtle point lies in checking that the homotopies are compatible, cf. Proposition <ref>.

An exact structure on $\A$ is a class $\mathcal{S}\subseteq \mathcal H_{3t}(\A)$ stable under isomorphisms, consisting of homotopy short exact sequences (called conflations)

\[
\begin{tikzcd}
A\ar[r, tail,"i"]\ar[rr,bend right=8ex,"h"swap]&B\ar[r,two heads, "p"]&C\\
\end{tikzcd}
\]

where $i$ is called an inflation and $p$ is called a deflation, such that the following axioms are satisfied

Ex0 $\Id_{0}$ is a deflation.

Ex1 Compositions of deflations are deflations.

Ex2 Given a deflation $p:B\rightarrow C$ and any map $c: C'\rightarrow C$ in $Z^0(\A)$, the object

\[
\begin{tikzcd}
\end{tikzcd}
\]

admits a homotopy pullback

\[
\begin{tikzcd}
\end{tikzcd}
\]

and ${p'}$ is also a deflation.

$\Ex2^{op}$ Given an inflation $i: A\rightarrow B$ and any map $a:A\rightarrow A'$ in $Z^0(\A)$, the object

\[
\begin{tikzcd}
\end{tikzcd}
\]

admits a homotopy pushout

\[
\begin{tikzcd}
\end{tikzcd}
\]

and ${i'}$ is also an inflation.

We call $(\A,\mathcal {S})$ or simply $\A$ an exact dg category.

Let $(\A,\mathcal S)$ and $(\A',\mathcal S')$ be exact dg categories.
A morphism $F:\A\rightarrow \A'$ in $\Hqe$ is exact if the induced functor $\mathcal H_{3t}(\A)\rightarrow \mathcal H_{3t}(\A')$ sends the objects in $\mathcal S$ to the objects in $\mathcal S'$.
We denote by $\Hqe_{ex}(\A,\A')$ the subset of $\Hqe(\A,\A')$ consisiting of the exact morphisms.

Let $\A$ be a small exact dg category.
If $\B$ is a small connective dg category, then $\rep_{dg}(\B,\A)$ is canonically an exact dg category.

Let $\A$ be an exact dg category.
There exists a universal exact morphism $F:\A\rightarrow \D^b_{dg}(\A)$ in $\Hqe$ from $\A$ to a pretriangulated dg category $\D^b_{dg}(\A)$. If moreover $\A$ is connective, this morphism satisfies:

1)It induces a quasi-equivalence from $\tau_{\leq 0}{\A}$ to $\tau_{\leq 0}\D'$ for an extension-closed dg subcategory $\D'$ of $\D^b_{dg}(\A)$.

2)It induces a natural bijection $\mathbb E(C,A)\xrightarrow{\sim} \Ext^1_{\D^b(\A)}(FC,FA)$ for each pair of objects $C,A$ in $H^0(\A)$ where $\D^b(\A)=H^0(\D^b_{dg}(\A))$.

We call $\D^b_{dg}(\A)$ the bounded dg derived category of $\A$.

We construct $\D^b_{dg}(\A)$ as the dg quotient
of the pretriangulated hull $\pretr(\A)$ by a full dg subcategory $\N$, which generalizes the dg category of acyclic
complexes over a Quillen exact category. We deduce that if $\A$ is a Quillen exact category, then $\D^b_{dg}(\A)$ is
quasi-equivalent to the canonical dg enhancement of the bounded derived category of $\A$, whence the name
and the notation.

The universal embedding $\A\rightarrow \D^b_{dg}(\A)$ allows us to prove diagram lemmas for exact dg categories,
which may be hard to prove directly.
For example, let $\J$ be the dg category of (<ref>) and
$F:\J\rightarrow \rep_{dg}(\J,\A)$ a dg functor such that $F(0)$ and $F(2)$ are both conflations in $\A$.
Let $F_i:\J\rightarrow \A$ be the composition of $F$ with $\rep_{dg}(\J,\A)\rightarrow \A$ which is induced by the inclusion $i:k\rightarrow \J$ for $i=0$, $1$ and $2$.
If all $F_i$ are conflations in $\A$, then $F(1)$ is also an conflation in $\A$. This `diagram lemma' is the
main ingredient of the proof of Lemma <ref>.

The dg nerve functor $N_{dg}$ sends each small exact dg category to an exact $\infty$-category.
Moreover, we have the following theorem.

Let $\A$ be a dg category such that $H^0(\A)$ is an additive category.
Then there is a bijection between the class of exact structures on the dg category $\A$ and the class of
exact structures on the $\infty$-category $N_{dg}(\A)$.
Moreover, if $\A$ is a pretriangulated dg category endowed with the maximal exact structure
(given by all homotopy short exact sequences), then its dg nerve is a stable $\infty$-category
endowed with the maximal exact structure (where each morphism is both an inflation and a deflation).

This extends in particular a theorem by Faonte [39], who showed that
if a dg category is pretriangulated, then its dg nerve is a stable $\infty$-category.

Let $(\C,\mathbb E,\mathfrak s)$ be a small extriangulated category.
For $n\geq 0$, Gorsky–Nakaoka–Palu [52] defined the higher
extension bimodule $\mathbb E^{n}(?,-)$ on $\C$ as the $n$th tensor power over $\C$ of $\mathbb E$.
A $\delta$-functor is a triple $(T,\epsilon,\eta)$ where $T=(T^i)_{i\geq 0}$ be a sequence of $\C$-$\C$-bimodules
and $\epsilon$ and $\eta$ are collections of connecting morphisms satisfying certain conditions, cf. Definition <ref>.
It is clear from the definition that $(\mathbb E^n)_{n\geq 0}$ together with the associated connecting morphisms is a $\delta$-functor.
Using a general result concerning $\delta$-functors with weakly effaceable bimodules $T^i$ for $i>0$, cf. Corollary <ref>, we have the following result.

Let $F:\A\rightarrow \D^{b}_{dg}(\A)$ be the universal embedding of $\A$
into a pretriangulated category.
Then we have a canonical isomorphism of $\delta$-functors $\alpha:\mathbb E^n(?,-)\xrightarrow{\sim} \Ext^n_{\D^b(\A)}(?,-)$.
A similar result for exact $\infty$-categories also holds. As a consequence, for an exact dg category $\A$, the stable hull of $N_{dg}(\A)$ is canonically equivalent to $N_{dg}(\D^b_{dg}(\A))$.

For an extriangulated category $\C$ with a subcategory $\P$ consisting of (not necessarily all) projective-injective objects in $\C$, Nakaoka–Palu showed that the ideal quotient $\C/\P$ has the structure of an extriangulated category, induced from that of $\C$, cf. <cit.>. The following theorem enhances their result.

Let $\A$ be a connective exact dg category and $\P$ a full dg subcategory of $\A$ consisting of projective-injective objects in $\A$.
Let $\mathcal S_{dg}$ be the canonical dg enhancement of $\D^b(\A)/\tr(\P)$.
Then the dg quotient $\A/\P$ carries a canonical exact dg structure induced from that of $\A$ and its dg derived category is quasi-equivalent to $\mathcal S_{dg}$.

Let $\A$ and $\A'$ be connective exact dg categories and $\C$ an arbitrary exact dg category.
A morphism $\mu: \A\otimes \A'\rightarrow \C$ in $\Hqe$ is biexact, if for all objects $A\in \A$ and
$A'\in \A'$, the induced morphisms

\[
\mu_{A,-}:\A'\rightarrow \C,\;\;\mu_{-,A'}:\A\rightarrow \C
\]

are both exact morphisms. Let $\A\boxtimes \A'$ be the $\tau_{\leq 0 }$-truncation of the extension closure of
the quasi-essential image of the morphism in $\Hqe$

\[
F: \A\otimes \A'\rightarrow \D^b_{dg}(\A)\otimes\D^b_{dg}(\A')\rightarrow \pretr(\D^b_{dg}(\A)\otimes\D^b_{dg}(\A'))
\]

The natural morphism $\A\otimes \A'\rightarrow \A\boxtimes \A'$ is the universal biexact morphism in $\Hqe$ from $\A\otimes \A'$ to an exact dg category.

Let $\B$ and $\C$ be connective exact dg categories.
Let $\rep_{dg}^{ex}(\B,\C)$ be the full dg subcategory $\rep_{dg}(\B,\C)$ consisting of exact morphisms.
It is shown in Lemma <ref> that $\rep_{dg}^{ex}(\B,\C)$ is stable under extensions in $\rep_{dg}(\B,\C)$ and thus inherits a canonical exact dg structure.

Let $\A$ and $\B$ be small connective exact dg categories. Let $\C$ be a small exact dg category.
Then we have the following natural bijection

\[
\Hqe_{ex}(\A\boxtimes \B,\C)\iso \Hqe_{ex}(\A,\rep_{dg}^{ex}(\B,\C)).
\]

Let $(\C,\mathbb E,\mathfrak s)$ be a small extriangulated category.
The defect of an $\mathfrak s$-conflation

\[
\]

is defined to be the cokernel of the morphism of right $\C$-modules $\C(?,B)\xrightarrow{(?,y)}\C(?,C)$.
The full subcategory of the module category $\Mod\C$ whose objects are the defects is denoted by
$\Def \mathbb E$. It was introduced in this generality by Ogawa in [117]
and further studied by Enomoto [33], who showed that $\Def \mathbb E$ is
a Serre subcategory of the abelian category of coherent $\C$-modules and that the map
taking a closed subbifunctor of $\mathbb E$ to its category of defects is a poset
isomorphism onto the poset of Serre subcategories of $\Def \mathbb E$.
If $\A$ is a connective exact dg category, then $\Def H^0(\A)$ is equivalent
to the heart of a $t$-structure on the category $\N$ of `acyclic complexes', cf.
the remark after Theorem <ref>.

Let $(\A,\mathcal S)$ be an exact dg category and $(H^0(\A),\mathbb E,\mathfrak s)$ the associated algebraic extriangulated category.
The following posets (where the order relations are given by inclusion) are canonically isomorphic:

(1)The poset of exact substructures of $(\A,\mathcal S)$.

(2)The poset of closed subbifunctors of $\mathbb E$.

(3)The poset of Serre subcategories of $\Def \mathbb E$.

Here, the isomorphism between the posets in (2) and (3) follows from Enomoto's theorem [33].

In [125], Rump proved that every additive category has the greatest exact structure, which generalized the results in [129, 25].
The following theorem generalizes Rump's result to additive dg categories.

Each additive dg category $\A$ admits a greatest (i.e. unique maximal) exact dg structure.

It is not clear how to formulate, let alone prove, an analogous statement for extriangulated

§ HOMOTOPY DIAGRAMS

§.§ Notations and terminology

In this subsection, we collect basic notations and terminology needed in this paper. The standard references for dg categories are [79, 85, 28, 135, 15].

Throughout we fix a commutative ring $k$.
We write $\otimes$ for the tensor product over $k$.
We denote by $\C_{dg}(k)$ the dg category of complexes of $k$-modules and by $\C(k)$ the category of complexes of $k$-modules.

Let $\A$ be a dg $k$-category.
For two objects $A_1$ and $A_2$, the Hom complex is denoted by $\Hom_{\A}(A_1,A_2)$ or
$\A(A_1,A_2)$.	An element $f$ of $\A(A_1,A_2)^{p}$ will be called a homogeneous morphism of degree $p$ with the notation $|f|=p$.
A homogeneous morphism $f:A_1\rightarrow A_2$ is closed if we have $d(f)=0$.

Let $M$ be complex of $k$-modules. We put

\[
\begin{tikzcd}
\tau_{\leq 0}M=(\cdots\ar[r]&M^{-2}\ar[r]&M^{-1}\ar[r]&Z^0M\ar[r]&0\ar[r]&\cdots).
\end{tikzcd}
\]

For a dg category $\A$, denote by $\tau_{\leq 0}\A$ the dg category with the same objects as $\A$
and whose morphism complexes are given by

\[
(\tau_{\leq 0} \A)(A_1, A_2) = \tau_{\leq 0}(\A(A_1, A_2)).
\]

The composition is naturally induced by that of $\A$.

A dg category $\A$ is connective if for each pair of objects $A_1, A_2\in \A$, the
complex $\Hom_{\A}(A_1, A_2)$  has cohomology concentrated in non-positive degrees.
It is called strictly connective if the components of the complex $\Hom_{\A}(A_1, A_2)$ vanish
in all positive degrees.

We denote by $Z^0(\A)$ the category with the same objects as $\A$ and whose morphism
spaces are defined by

\[
\]

where $Z^0$ is the kernel of $d:\A(A_1,A_2)^0\rightarrow \A(A_1,A_2)^1$.
Similarly, we denote by $H^0(\A)$ the category with the same objects as $\A$ and whose
morphism spaces are given by

\[
\]

where $H^0$ denotes the zeroth cohomology of the complex.

The oppositie dg category $\A^{op}$ has the same objects as $\A$ and its morphism spaces are defined by

\[
\A^{op}(X,Y)=\A(Y,X);
\]

the composition of $f\in\A^{op}(Y,X)^{op}$ with $g\in \A^{op}(Z,Y)^{q}$ is given by $(-1)^{pq}gf$.
By a dg $\A$-module $M$, we mean a right dg $\A$-module, i.e. a dg functor $\A^{op}\rightarrow \C_{dg}(k)$.
We denote by $\C_{dg}(\A)$ the dg category of right dg $\A$-modules and by $\C(\A)$ the category of dg
$\A$-modules. Note that $Z^0(\C_{dg}(\A))=\C(\A)$.
The category up to homotopy of dg $\A$-modules is

\[
\mathcal H(\A)=H^0(\C_{dg}(\A)).
\]

An object $A$ in $\A$ is contractible if it is a zero object in $H^0(\A)$, or equivalently if we have $\Id_{M}=d(h)$ for some morphism $h:M\rightarrow M$ of degree $-1$.
A dg category $\A$ has contractible pre-envelopes provided for each object $A$ in $\A$, there exists a closed morphism $f:A\rightarrow A'$ of degree $0$ such that $A'$ is contractible and for each morphism $h:A\rightarrow B$ in $\A$, there exists some $h':A'\rightarrow B$ satisfying $h'\circ f=h$ (hence $d(h')\circ f=d(h)$).
Dually one has the notion of a dg category having contractible pre-covers.
A dg $\A$-module is contractible if it is contractible in the dg category $\C_{dg}(\A)$.

For each object $A\in\A$, we have the right dg module represented by $A$

\[
\]

A dg $\A$-module $M$ is representable if it is isomorphic to $A^\wedge$ for some
$A\in\A$ and quasi-representable if it is quasi-isomorphic to $A^\wedge$ for some $A \in \A$.

For a dg $\A$-module $M$, put $IM=\Cone(\Id_M)$ and $PM=\Cone(\Id_{\Sigma^{-1}M})$.
Explicitly, we have $IM=\Sigma M\oplus M$ and $PM=M\oplus \Sigma^{-1}M$ as graded $\A$-modules.
We have the natural inclusion $i=[0,1]^{\intercal}:M\rightarrow IM$ and projection $p=[1,0]:PM\rightarrow M$.

A dg functor $F:\A\rightarrow \B$ is a quasi-equivalence if

a) it is quasi-fully faithful, i.e. for all objects $A, A'\in A$, the morphism

\[
F_{A,A'}:\A(A,A')\rightarrow \B(FA,FA').
\]

is a quasi-isomorphism and

b) the induced functor  $H^0(F):H^0(\A)\rightarrow H^0(\B)$ is an equivalence of categories.

The Yoneda dg functor

\[
\A\rightarrow \C_{dg}(\A),\;\; A\mapsto A^{\wedge}
\]

is fully faithful.
Let $\A'$ be the full dg subcategory of $\C_{dg}(\A)$ consisting of objects $A^{\wedge}$, $\Cone(\Id_{A^{\wedge}})$ and $\Cone(-\Id_{\Sigma^{-1}A^{\wedge}})$ for each $A\in\A$.
The dg category $\A'$ has contractible pre-covers and contractible pre-envelopes and the inclusion $\A\rightarrow \A'$ is a quasi-equivalence.
Thus, up to quasi-equivalence, we may assume $\A$ has contractible pre-covers and contractible pre-envelopes.

The category $\dgcat$ of small dg categories admits the Dwyer-Kan model structure (cf. [130]),
whose weak equivalences are the quasi-equivalences. Its homotopy category is denoted by $\Hqe$.
There exists a cofibrant replacement functor $Q$ on $\dgcat$ such that for any $\A\in\dgcat$, the natural dg functor $Q(\A)\rightarrow \A$ is the identity on the set of objects.
In particular, the Hom-complexes of $Q(\A)$ are cofibrant over $k$.
The tensor product $\A\otimes \B$ of two dg categories $\A$ and $\B$ has the class of objects  $\obj(\A)\times \obj(\B)$ and the morphism spaces

\[
(\A\otimes\B)((A,B),(A',B'))=\A(A,A')\otimes \B(B,B')
\]

with the natural compositions and units.
This defines a symmetric monoidal structure $-\otimes -$ on $\dgcat$ which is closed.
For $\A, \B\in\dgcat$, put $\A\otimes^{\mathbb L}\B=\A\otimes Q(\B)$.
This extends to a bifunctor $-\otimes^{\mathbb L}-:\dgcat\times \dgcat\rightarrow \dgcat$ and then passes through the homotopy categories

\[
-\otimes^{\mathbb L}-:\Hqe\times \Hqe\rightarrow \Hqe.
\]

Let $\Cat$ be the category of small categories.
Let $[\Cat]$ be the category with objects small categories and with morphisms isomorphism classes of functors.
In particular the isomorphism class of an equivalence of categories is an isomorphism in $[\Cat]$.
So the functor $H^0:\dgcat\rightarrow \Cat$ induces a functor

\[
H^0:\Hqe\rightarrow [\Cat].
\]

For a category $\C$, we denote by $\Iso(\C)$ its isomorphism classes of objects.

For a dg category $\A$, we denote by $\D(\A)$ its derived category, a triangulated category.
By definition $\D(\A)$ is the localization of $\C(\A)$ at the class of quasi-isomorphisms, i.e. morphisms of dg $\A$-modules which induce quasi-isomorphisms of complexes when evaluated at any object in $\A$.
Let $\pi:\C(\A)\rightarrow \D(\A)$ be the quotient functor.
For a morphism $j:M\rightarrow N$ in $\C(\A)$, we denote by $\overline{\jmath}=\pi(j):M\rightarrow N$ the corresponding morphism in $\D(\A)$.
A dg functor $F:\A\rightarrow \B$ induces a triangle functor $F_*:\D(\A)\rightarrow \D(\B)$ which is an equivalence of triangulated categories if $F$ is a quasi-equivalence.
The dg derived category $\D_{dg}(\A)$ of $\A$ is defined to be the full dg subcategory of $\C_{dg}(\A)$ consisting of cofibrant dg $\A$-modules in the projective model structure of $\C(\A)$ (cf. <cit.>).
The canonical functor $H^0(\D_{dg}(\A))\rightarrow \D(\A)$ is an equivalence of triangulated categories.

For dg categories $\A$ and $\B$, we define $\rep(\B,\A)$ to be the full subcategory of $\D(\A\otimes^{\mathbb L} \B^{op})$ whose objects are the dg bimodules $X$ such that $X(-,B)$ is quasi-representable for each object $B$ of $\B$.
We define the canonical dg enhancement $\rep_{dg}(\B,\A)$ to be the full dg subcategory of $\D_{dg}(\A\otimes^{\mathbb L}\B^{op})$ whose objects are those of $\rep(\B,\A)$.

A dg category $\A$ is pretriangulated if the canonical inclusion $H^0(\A)\rightarrow \D(\A)$ is a triangulated subcategory.
Note that $\rep_{dg}(\B,\A)$ is pretriangulated if $\A$ is pretriangulated.
For a dg category $\A$, its pretriangulated hull $\pretr(\A)$ ([15, 28, 16]) is defined as follows.
The objects of $\pretr(\A)$ are “one-sided twisted complexes”, i.e. formal expressions $(\oplus_{i=1}^{n}A_i[r_i],q)$, where $A_i\in \A$, $r_i\in\mathbb Z$, $n\geq 0$, $q=(q_{ij})$, $q_{ij}\in \Hom_{\A}^{r_i-r_j+1}(A_j,A_i)$, $q_{ij}=0$ for $i\geq j$ and $dq+q^2=0$.
Here we adopt the convention $(dq)_{ij}=(-1)^{r_i}d_{\A}(q_{ij})$ and $(q^2)_{ij}=\sum_{k}q_{ik}\circ q_{kj}$.
If $A$ and $A'$ are two objects in $\pretr(\A)$ with $A=(\oplus_{i=1}^{n}A_i[r_i],q)$ and $A'=(\oplus_{i'=1}^{n'}A_{i'}'[r_{i'}'],q')$, the complex $\Hom_{\pretr(\A)}(A,A')$ has as the degree $m$ component the space of matrices $f=(f_{ij})$, $f_{ij}\in\Hom_{\A}^{m+r_{i}'-r_j}(A_{j}, A_{i}')$.
The differential $d$ carries a morphism $f=(f_{ij})$ of degree $m$ to $df=((df)_{ij})$ where

\[
(df)_{ij}=(-1)^{r_i'}d_{\A}(f_{ij})+\sum_{k}q'_{ik}\circ f_{kj}-(-1)^{m} \sum_{k} f_{ik}\circ q_{kj}.
\]

The composition map

\[
\Hom_{\pretr(\A)}(A',A'')\otimes \Hom_{\pretr(\A)}(A,A')\rightarrow \Hom_{\pretr(\A)}(A,A'')
\]

is the matrix multiplication: $f'\otimes f\mapsto f''$ where $f''_{ij}=\sum_{k}f'_{ik}\circ f_{kj}$.
We denote the triangulated category $H^0(\pretr(\A))$ by $\tr(\A)$.
The Yoneda dg functor $\A\rightarrow \C_{dg}(\A)$ extends to a fully faithful dg functor $\pretr(\A)\rightarrow \D_{dg}(\A)$.
It induces a fully faithful triangle functor $\tr(\A)\rightarrow \D(\A)$ whose essential image is the triangulated subcategory of $\D(\A)$ generated by the representable dg modules.

A quiver (or directed graph) $Q$ is a quadruple $(Q_0,Q_1,s,t)$ where $Q_0$ is a set whose elements are called objects or vertices of $Q$, $Q_1$ is a set of arrows $f$ (or edges), and $s,t$ are maps $Q_1\rightarrow Q_0$ where $s(f)$ is the source of the arrow $f$ and $t(f)$ is the target of $f$.
A morphism between quivers is defined in the obvious way.
We denote the category of quivers by $\mathrm{Quiv}$.

Each small category $\C$ has an underlying quiver $F(\mathcal C)$ and this extends to the forgetful functor $F:\Cat\rightarrow\Quiv$.
This functor admits a left adjoint $P:\Quiv\rightarrow \Cat$ which associates to a quiver $Q$ the path category $P(Q)$ of $Q$.
The path category $P(Q)$ has the same objects as $Q$ and its morphisms $x_1\rightarrow x_n$ are finite paths

\[
\begin{tikzcd}
\end{tikzcd}
\]

consisting of $n\geq 1$ objects $x_1,\cdots,x_n$ of $Q$ which are connected by arrows $f_i:x_i\rightarrow x_{i+1}$ of $Q$.
The composite of two paths is defined by concatenation: $\mathrm{concat}(f,g)=g\circ f$.

Let $Q$ be a quiver and $R$ a function which assigns to each pair of objects $x,y$ of $Q$ a binary relation $R_{x,y}$ on the set of finite paths from $x$ to $y$.
Then the path category of the quiver $Q$ with relations $R$ is defined to be the quotient category $P(Q)/\overline{R}$, where $\overline{R}$ is the smallest family of equivalence relations $\overline{R}_{x,y}$, $x,y\in Q_0$, containing $R$ and stable under pre- and postcomposition with morphisms.
Often we only write down nontrivial relations in $R$.

For a small category $\I$, we have the $k$-category $k\I$ whose set of objects is the same as that of $\I$ and for each pair of objects $x,y$ in $\C$, the space $k\I(i,j)$ is the free $k$-module generated by the set $\I(i,j)$.
In particular, if we view $k\I$ as a dg category concentrated in degree 0, then it is $k$-cofibrant, i.e. the Hom complexes are $k$-cofibrant.
Let $\B$ be a $k$-cofibrant dg category.
We have a quasi-equivalence $\A\otimes ^{\mathbb L}\B\iso\A\otimes \B$.
A dg functor $F:\B\rightarrow\A$ gives rise to a $\B$-$\A$-bimodule $_{F}\A_{\A}$ defined by

\[
(A,B)\mapsto \Hom_{\A}(A,FB).
\]

The assignment $F\mapsto  {_{F}\A_{\A}}$ passes to the following map

\[
\Hqe(\B,\A)\rightarrow \Iso(\rep(\B,\A))
\]

which is a bijection, cf. [134].
It is shown in loc. cit that $\rep_{dg}(\B,\A)$ is the internal Hom of the monoidal category $(\Hqe,-\otimes^{\mathbb L}-)$, i.e.  for small dg categories $\A$, $\B$ and $\C$, we have

\[
\Hqe(\A\otimes^{\mathbb L}\B,\C)\iso\Hqe(\A,\rep_{dg}(\B,\C)).
\]

§.§ Preliminaries

Throughout we fix a dg $k$-category $\A$.
Consider the derived category $\D(\A)$ of the dg category $\A$.
Our first aim is to formulate proper definitions of homotopy (co)cartesian squares in the dg category $\A$ (not  $\D(\A)$).

For a small category $\mathcal I$, put

\[
\D(\I)=\D(k(\I^{op})\otimes \A),\;\; \C(\I)=\C(k(\I^{op})\otimes \A), \;\;\rep(\I)=\rep(k(\I),\A)
\]

\[
\rep_{dg}(\I)=\rep_{dg}(k(\I),\A).
\]

We are mainly concerned with the case when $\I$ is the category with one object and one morphism or one of the following categories:

The square category $\mathrm{Sq}$ is the path category of the quiver

\[
\begin{tikzcd}
00\ar[r,"f"]\ar[d,"g"swap] & 01\ar[d,"j"] \\
10\ar[r,"k"swap] & 11
\end{tikzcd}
\]

with the commutativity relation $jf\sim kg$;

the cospan category $\mathrm{Cosp}$ is the path category of the quiver

\[
\begin{tikzcd}
\end{tikzcd}
\]

the span category $\mathrm{Sp}$ is the path category of the quiver

\[
\begin{tikzcd}
\end{tikzcd};
\]

the composition category $\mathrm{Com}$ is the path category of the quiver

\[
\begin{tikzcd}
\end{tikzcd}
\]

the morphism category $\mathrm{Mor}$ is the path category of the quiver

\[
\begin{tikzcd}
\end{tikzcd}
\]

We identify objects $X\in\D(\mathrm{Sq})$ with commutative squares

\begin{equation}
\begin{tikzcd}\label{D(Sq)}
\end{tikzcd}
\end{equation}

in $\C(\A)$.

In general we identify an object $X\in \D(\I)$ with an $\I$-shaped diagram $X$ in $\C(\A)$, i.e. a functor

\[
X:\I\rightarrow \C(\A),\;\; i\mapsto X_i.
\]

Let $Q:\C(\A)\rightarrow \D(\A)$ be the canonical quotient functor.
The map sending $X$ to $Q\circ X$ defines the canonical diagram functor $\Dia:\D(\I)\rightarrow\Fun(\I,\D(\A))$ which is conservative, i.e. detects isomorphisms. Note that it is not full in general.

We have the following diagram with the obvious functors $i:\Cosp\rightarrow\Sq$ and $s:\Mor\rightarrow\Cosp$.

\[
\begin{tikzcd}
0\ar[d,""{name=1}]&\;\ar[d,""{name=4}, white]&01\ar[d,""{name=2}]&00\ar[rd,phantom,"="]\ar[r,"f"]\ar[d,"g"{name=3,swap}] & 01\ar[d]\ar[d,"j"] \\
1&10\ar[r]&11&10\ar[r,"k"swap] & 11\ar[r, from=2, to=3,red,"i"]\ar[r,from=1,to=4,red,"s"]
\end{tikzcd}\;.
\]

Write $L:\D(\mathrm{Sq})\rightarrow \D(\mathrm{Cosp})$ for the restriction functor along $i$, $U$ for its left adjoint and $R$ for its right adjoint.

Write $L':\D(\mathrm{Cosp})\rightarrow \D(\mathrm{Mor})$ for the restriction functor along $s$, $U'$ for its left adjoint and $R'$ for its right adjoint.

We describe these functors at the level of objects. The functor $U'$ sends an object $Y\xrightarrow{j} Z$ to

\[
\begin{tikzcd}
\end{tikzcd}\;.
\]

The functor $R'$ sends $Y\xrightarrow{j} Z$ to

\[
\begin{tikzcd}
\end{tikzcd}\;.
\]

The functor $U$ sends

\[
\begin{tikzcd}
\end{tikzcd}
\]

\[
\begin{tikzcd}
\end{tikzcd}\;.
\]

Let us describe the functor $R$.
Let $S$ be the object

\[
\begin{tikzcd}  & B\ar[d,"{j}"] \\
C\ar[r,"k"swap] & D
\end{tikzcd}
\]

in $\D(\mathrm{Cosp})$.
Then the functor $R$ takes $S$ to the dg $k\Sq^{op}\otimes \A$-module

\[
\RHom_{k\mathrm{Cosp^{op}}}(M,S)
\]

where $M$ is the dg $k\Cosp^{op}\otimes k(\Sq)$-module $\Hom_{k(\Sq)^{op}}(i(-),-)$.
We will construct a quasi-isomorphism $M'\rightarrow M$ of bimodules such that $M'(-,j)$ is cofibrant for each $j\in \Sq$.
The dg $k\Cosp^{op}$-module $M(-,00)$ is given by the diagram

\[
\begin{tikzcd}
\end{tikzcd}\;.
\]

It fits into a short exact sequence in $\C(k\mathrm{Cosp}^{op})$

\[
0\rightarrow 11^{\wedge}\rightarrow 01^{\wedge}\oplus 10^{\wedge}\rightarrow M(-,00)\rightarrow 0.
\]

So it is quasi-isomorphic to the cokernel $N$ of the graded-injective map

\[
11^{\wedge}\rightarrow \Cone(\Id_{11^{\wedge}})\oplus 10^{\wedge}\oplus 01^{\wedge}.
\]

Let $M'$ be the dg $k\Cosp^{op}\otimes k(\Sq)$-module given by the following diagram in $\C(k\Cosp^{op})$

\[
\begin{tikzcd}
01^{\wedge}\oplus \Cone(\Id_{11^{\wedge}})\ar[u]&11^{\wedge}\ar[l]\ar[u]\mathrlap{\;.}
\end{tikzcd}
\]

Then we get the desired quasi-isomorphism $M'\rightarrow M$.
So the functor $R$ takes $S$ to $\Hom_{k\Cosp^{op}}(M',S)$ which is given by the following diagram in $\C(\A)$

\[
\begin{tikzcd}
C\oplus \Cone(-\Id_{\Sigma^{-1}D})\ar[r,"(k\ p)"swap]&D
\end{tikzcd}
\]

such that $p:\Cone(-\Id_{\Sigma^{-1}D})\rightarrow D$ is the canonical projection map and that the diagram fits into the following graded split short exact sequence in $\C(\A)$

\[
0\rightarrow K\rightarrow \Cone(-\Id_{\Sigma^{-1}D})\oplus B\oplus C\xrightarrow{[p\;\;j\;\;k]} D\rightarrow 0.
\]

In summary, we have the following diagram of triangle functors

\begin{equation}
\begin{tikzcd}\label{adjointtriple}
\D(\mathrm{Mor})\ar[shift left =2ex, rr,"U'"]\ar[shift right=2ex,rr,"R'"]
&&\D(\mathrm{Cosp})\ar[ll,"L'"swap]\ar[shift left=2ex, rr,"U"]\ar[shift right=2ex, rr,"R"]
\end{tikzcd}
\end{equation}

Consider the category $\C(\Sq)$ of dg modules over $k(\mathrm{Sq})^{op}\otimes \A$. The representable dg modules are

\[
\begin{tikzcd}A^{\land}\ar[r,equal]\ar[d,equal]&A^{\land}\ar[d,equal]\\A^{\land}\ar[r,equal]&A^{\land}\end{tikzcd},
\begin{tikzcd}0\ar[r]\ar[d]&A^{\land}\ar[d,equal]\\0\ar[r]&A^{\land}\end{tikzcd},
\begin{tikzcd}0\ar[r]\ar[d]&0\ar[d]\\A^{\land}\ar[r,equal]&A^{\land}\end{tikzcd},
\begin{tikzcd}0\ar[r]\ar[d]&0\ar[d]\\0\ar[r]&A^{\land}\end{tikzcd}
\]

where $A\in \A$.

Since the cofibrant objects are direct summands, as graded modules, of sums of modules which are shifts of representable modules, we have that cofibrant objects in $\C(\Sq)$ are of the form

\[
\begin{tikzcd}
\end{tikzcd}
\]

where $f,g,j,k$ are graded-split injections and all $X_i$ are cofibrant dg $\A$-modules.

Let $\A$ be a dg category.
There is a canonical t-structure

\[
(\D(\A)^{\leq 0},\D(\A)^{\geq 0})
\]

on $\D(\A)$ such that $\D(\A)^{\geq 0}$ is formed by those dg modules whose cohomology is concentrated in non-negative degrees.

Note that we have $A^{\wedge}\in\D(\A)^{\leq 0}$ for each $A\in\A$.

Let $\B$ be a connective dg $k$-category.
Put $\T=\D(\A\otimes \B^{op})$.
Let $(\T^{\leq 0},\T^{\geq 0})$ be the canonical t-structure on $\T$.

Let $X$ be a dg $\B-\A$-bimodule. It is clear that $X\in \T^{\geq 0}$ if and only if $X(-,B)\in \D(\A)^{\geq 0}$ for each $B\in\mathcal B$.

We have $X\in \T^{\leq 0}$ if $X(-,B)\in \D(\A)^{\leq 0}$ for each $B\in\B$.

Suppose $X(-,B)\in \D(\A)^{\leq 0}$ for each $B\in\B$. Let $Y\in \T^{\geq 1}$.

Then we have $\Hom_{\D(\A)}(X(-,B),Y(-,B'))=0$ for $B,B'\in\B$.

So we have $\tau_{\leq 0}\RHom_{\A}(X,Y)=0$ and we have

\[
\begin{aligned}\RHom_{\B^{op}\otimes \A}(X,Y)=&\RHom_{\B^{op}\otimes \B}(\B,\RHom_{\A}(X,Y))\\
=&\RHom_{\B^{op}\otimes \B}(\B,\tau_{\leq 0}\RHom_{\A}(X,Y))\\
\end{aligned}
\]

Hence $X\in\T^{\leq 0}$.

In particular, for a small category $\mathcal I$, the category $\rep(\I)$ is a full subcategory of $\D(\I)^{\leq 0}$.

Let $\T$ be a triangulated category.
A co-t-structure on $\T$ is a pair of full additive subcategories $(\T^{w\leq 0},\T^{w\geq 0})$ such that the following properties hold:

(i) $\T^{w\leq 0}$ and $\T^{w\geq 0}$ are stable under forming direct summands;

(ii) $\Sigma^{-1}\T^{w\geq 0}\subset \T^{w\geq 0}$; $\Sigma \T^{w\leq 0}\subset \T^{w\leq 0}$;

(iii) $\Hom_{\T}(\Sigma^{-1}\T^{w\geq 0}, \T^{w\leq 0})=0$;

(iv) For any object $X$ of $\T$ there exists a triangle

\begin{align}
\Sigma^{-1} B\rightarrow X\rightarrow A\rightarrow B \label{weight} \tag{2.1}
\end{align}

such that $A\in \T^{w\leq 0}$ and $B\in \T^{w\geq 0}$.

The triangle (<ref>) is called a weight decomposition of $X$.

Let $(\T^{w\leq 0},\T^{w\geq 0})$ be a co-t-structure on a triangulated category $\T$.

* The full subcategory $\mathcal H{\coloneqq}\T^{w\leq 0}\cap \T^{w\geq 0}$ is called the coheart of the co-t-structure.

* $\T^{w\geq l}{\coloneqq}\Sigma^{-l}\T^{w\geq 0}$ and $\T^{w\leq l}{\coloneqq}\Sigma^{-l}\T^{w\leq 0}$.

* For any $i,j\in\mathbb Z$, $i\leq j$, we define $\T^{[i,j]}{\coloneqq}\T^{w\leq j}\bigcap \T^{w\geq i}$.

* The co-t-structure $(\T^{w\leq 0}, \T^{w\geq 0})$ is called bounded if

\[
\T=\bigcup_{l\in \mathbb Z}\T^{w\leq l}=\bigcup_{l\in\mathbb Z}\T^{w\geq l}.
\]

[[17, 118]]
Let $\B$ be an additive category.
We denote by $\mathcal H(\B)^{\leq 0}$ (resp. $\mathcal H(\B)^{\geq 0}$) the full subcategory consisting of complexes that are homotopy equivalent to complexes concentrated in degrees $\leq 0$ (resp. $\geq 0$).
The pair of subcategories $(\mathcal H(\B)^{\leq 0},\mathcal H(\B)^{\geq 0})$ is a co-t-structure on $\mathcal H(\B)$.
Its coheart is the Karoubi-closure of $\B$ in $\mathcal H(\B)$, i.e. the full subcategory consisting of the objects $X\in \mathcal H(\B)$ which are retracts of objects in $\B$.
For example, suppose $p: Y^0\rightarrow Y^1$ is an epimorphism in $\B$ with a left inverse $s:Y^1\rightarrow Y^0$.
Then the complex

\[
\cdots\rightarrow0\rightarrow 0\rightarrow Y^0\xrightarrow{p} Y^1\rightarrow 0\rightarrow \cdots
\]

where $Y^0$ is in degree 0, is a retract of the stalk complex $Y^0$ and hence belongs to the coheart.
Each such complex belongs to $\B$ if and only if $\B$ is weakly idempotent complete.

Let $\A$ be a dg $k$-category.
Recall that we denote by $\pretr(\A)$ its pretriangulated hull and by $\tr(\A)$ the triangulated category $H^0(\pretr(\A))$ and that the Yoneda embedding induces a fully faithful triangle functor $\tr(\A)\rightarrow \D(\A)$.

Suppose $\A$ is a strictly connective dg category.
Put $\T=\tr(\A)$.
Let $\T^{\leq 0}$ (resp. $\T^{\geq 0}$) be the full subcategory of $\T$ which consists of objects isomorphic to those of the form $A=(\oplus_{i=1}^{n} A_i[r_i],q)$ for $n\geq 0$ and $r_i\geq 0$ (resp. $r_i\leq 0$) for each $i$.
Then $(\T^{\leq 0}, \T^{\geq 0})$ is a co-t-structure on $\T$, the canonical co-t-structure.

§.§ Homotopy cartesian squares for triangulated categories

Let $\T$ be a triangulated category. Consider a commutative square in $\T$

\begin{equation}\label{triangulatedpullback}
\begin{tikzcd}
Y \arrow[r,"{f}"] \arrow[d,"g" swap] & Z \ar[d,"g'"] \\
Y' \arrow[r,"f'"swap] & Z'.
\end{tikzcd}
\end{equation}

It is homotopy cartesian (<cit.>) if there is a (distinguished) triangle

\[
\begin{tikzcd}
Y\ar[r,"{(g,-f)^{\intercal}}"] &Y'\oplus Z\ar[r,"{(f'\ g')}"]&Z'\ar[r,"{\partial}"] &\Sigma Y
\end{tikzcd}
\]

for some $\partial:Z'\rightarrow \Sigma Y$.
For a general commutative square as above, let $u=(g, -f)^{\intercal}$.
We complete it to a triangle

\[
\begin{tikzcd}
Y\ar[r,"u"]&Y'\oplus Z\ar[r,"v"]&W\ar[r,"w"]&\Sigma Y.
\end{tikzcd}
\]

Then we have a map $t:W\rightarrow Z'$ such that $(f'\ \ g')=t\circ v$.
However this map is not canonical and we do not know if this map is an isomorphism.
Therefore we cannot determine whether the commutative square is homotopy cartesian from this map.

It turns out that we have a satisfactory definition of homotopy cartesian squares provided $\T$ is algebraic, i.e. $\T$ is equivalent, as a triangulated category, to $H^0(\A)$ for a pretriangulated dg category $\A$.
In this case, the adjunction $(L,R)$ in the diagram <ref> restricts to an adjuntion

\[
\begin{tikzcd}
\rep(k(\mathrm{Sq}),\A)\ar[r,shift left=1ex,"L"]& \rep(k(\mathrm{Cosp}),\A)\ar[l, shift left=1ex,"R"].
\end{tikzcd}
\]

Let $\A$ be a pretriangulated dg category.
An object $X\in \rep(k(\mathrm{Sq}),\A)$ is homotopy cartesian if the adjunction morphism $X\rightarrow RLX$ is invertible.

Recall that we identify $X$ with the diagram <ref>

\[
\begin{tikzcd}
\end{tikzcd}\;.
\]

The object $X$ is homotopy cartesian if and only if the canonical morphism

\[
\]

is an isomorphism in $\D(\A)$ (cf. the proof of Lemma <ref>).
Note that this implies $\Dia(X)\in \Fun(\mathrm{Sq}, H^0(\A))$ is a homotopy cartesian square in $\T=H^0(\A)$.

Conversely, let $Y\in \Fun(\Sq, H^0(\A))$ be a square in $H^0(\A)$. If it is a homotopy cartesian square, then it is isomorphic to $\Dia(X)$ for some homotopy cartesian object $X\in \rep(\Sq,\A)$.
Indeed, by Lemma <ref> below, the object $\Res(Y)\in \Fun(\Cosp, H^0(\A))$ is isomorphic to $\Dia(V)$ for some $V\in \rep(\Cosp, \A)$.
Then the object $X\coloneqq R(V)\in \rep(\Sq,\A)$ is homotopy cartesian and satisfies $\Dia(X)\iso Y$.

Recall that for a small category $\I$, the canonical diagram functor

\[
\Dia:\D(\I)\rightarrow \mathrm{Fun}(\I,\D({\A}))
\]

sends an object $X:\I\rightarrow \C(\A)$ to the corresponding diagram $\Dia(X)=\pi \circ X$ where $\pi:\C(\A)\rightarrow \D(\A)$ is the canonical quotient functor.

Recall that, for a category $\C$, we denote by $\Iso(\C)$ the class of isomorphism classes of objects in $\mathcal{C}$.
The following lemma is well-known.
Here we include a proof for the convenience of the reader.

Let $\I$ be the path category $P(Q)$ of a quiver $Q$ (without relations).
The functor $\Dia:\D(\I)\rightarrow \Fun(\I,\D(\A))$ is an epivalence, i.e. it is full and dense and detects isomorphisms.
In particular, it induces a bijection

\[
\Iso(\D(I))\xrightarrow{\sim}\Iso(\mathrm{Fun}(\I,\D(\A))).
\]

The functor $\Dia$ clearly detects isomorphisms.
Let us first show that it is dense.

Let $S: \I\rightarrow \D(\A)$ be an object in $\Fun(\I, \D(\A))$.
For each object $i\in \I$, we take a cofibrant resolution $\theta_i: X_i\rightarrow S(i)$.
Then for each arrow $\alpha:i\rightarrow j$ in $Q$, we have a morphism $X_{\alpha}:X_i\rightarrow X_{j}$ in $\C(\A)$ such that $\theta_{j}\circ \pi(X_{\alpha})\circ \theta_{i}^{-1}=S(\alpha)$ where $\pi:\C(\A)\rightarrow \D(\A)$ is the quotient functor.
This extends to a functor $X:\I=kQ\rightarrow \C(\A)$ such that $\Dia(X)=\pi \circ X\iso S$.
This shows that the functor $\Dia$ is dense.

Let us now show that it is full.

Let $\C$ be an additive category with coproducts and $\I$ a small category.
For each object $i\in \I$, the map sending a functor $F:\I \rightarrow \C$ to $F(i)$ determines the evaluation functor at $i$

\[
i^{*}:\Fun(\I,\C)\rightarrow \C,\;\; F\mapsto F(i).
\]

It admits a left adjoint

\[
i_{!}:\C\rightarrow \Fun(\I,\C)
\]

sending an object $X$ to the functor $j\mapsto \coprod_{p:i\rightarrow j} X$, where $p$ runs through morphisms from $i$ to $j$ in $\I$.

Suppose $\I$ is the path category $P(Q)$ of a quiver $Q$.
Then for each $F\in\Fun(\I,\C)$, we have the following sequence

\[
0\rightarrow \coprod_{\alpha: i\rightarrow j \text{ in $Q$}}j_{!}i^{*}F\rightarrow \coprod_{i\in Q}i_{!}i^{*}F\rightarrow F\rightarrow 0.
\]

which splits when evaluated at each object $i\in \I$.

Now suppose $\C=\C(\A)$.
The above sequence is a short exact sequence in $\Fun(P(Q),\C(\A))\iso\C(\A\otimes k(P(Q))^{op})$.
Thus it induces a triangle in $\D(\A\otimes k(P(Q))^{op})$

\begin{equation}\label{triangle}
\bigoplus_{\alpha:i\rightarrow j \text{ in $Q$}}j_!i^*F\rightarrow \bigoplus_{i\in Q}i_{!}i^{*}F\rightarrow F\rightarrow \Sigma\bigoplus_{\alpha:i\rightarrow \text{ in $Q$}}j_!i^*F.
\end{equation}

Notice that the adjunction $(i_{!},i^{*})$ is a Quillen adjunction with respect to the projective model structures on both categories.
Thus we have

\[
\RHom(i_{!}X,F)\iso\RHom(X,i^*F).
\]

Let $G$ be another object in $\Fun(\I,\C(\A))$.
If we apply $\RHom(-, G)$ to the triangle <ref>, we otain the following triangle in $\D(k)$

\[
\RHom(F,G)\rightarrow \prod_{i\in Q}\RHom(F(i),G(i))\xrightarrow{\phi} \prod_{\alpha:i\rightarrow j\text{ in $Q$}}\RHom(F(i),G(j))\rightarrow \Sigma\RHom(F,G).
\]

By direct inspection, we see that the kernel of $H^0(\phi)$ is the space of morphisms of diagrams from $\Dia(F)$ to $\Dia(G)$.
Thus by applying $H^0$ to the triangle we see that the map

\[
\Hom_{\D(\A\otimes k(P(Q))^{op})}(F,G)\rightarrow \Hom_{\Fun(P(Q),\D(\A))}(\Dia(F), \Dia(G))
\]

is a surjection.

Let $\A$ be a pretriangulated dg category.
In summary, we have the following diagram of functors

\[
\begin{tikzcd}
\rep(k(\Sq),\A)\ar[r,"\Dia"]\ar[d,"L"swap,shift right=1ex]&\Fun(\Sq, H^0(\A))\ar[d,"\Res"]\\
\rep(k(\Cosp),\A)\ar[r,"\Dia"swap]\ar[u,"R"swap, shift right=1ex]&\Fun(\Cosp,H^0(\A))
\end{tikzcd}
\]

* $\Res\circ\Dia=\Dia\circ L$ and $\Res\circ\Dia\circ R\iso \Dia$;

* by Lemma <ref>, the bottom horizontal functor induces a bijection between the isomorphism classes of objects;

* the functor $R$ is fully faithful and by definition, an object $X$ in $\rep(\Sq,\A)$ is homotopy cartesian if and only if it is in the essential image of $R$;

* for each homotopy cartesian square $X$ in $H^0(\A)$, there exists a non-unique homotopy bicartesian object in $\A$ whose image under $\Dia$ is isomorphic to $X$;

* the right vertical functor does not admit a right adjoint because maps in the triangulated category $H^0(\A)$ do not have kernels in general.

§.§ Homotopy pullbacks/pushouts

In this subsection, we extend the definitions of homotopy (co)cartesian squares to the general case when $\A$ is not necessarily pretriangulated.

An object $X\in \rep(\mathrm{Sq})$ is a homotopy cartesian square with respect to $\A$ if the canonical map $X_{00}\rightarrow \Sigma^{-1}\mathrm{Cone}((-j,k))$ induces an isomorphism

\[
\tau_{\leq 0}\RHom(A^{\wedge},X_{00})\rightarrow \tau_{\leq 0}\RHom(A^{\wedge}, \Sigma^{-1}\mathrm{Cone}((-j,k)))
\]

in $\D(k)$ for each $A$ in $\A$.

Let $\A'$ be a full dg subcategory of $\A$.
Let  $F:\rep(\Sq,\A')\rightarrow \rep(\Sq,\A)$ be the inclusion functor induced by the inclusion dg functor $\A'\rightarrow \A$.
Let $X$ be an object in $\rep(\Sq,\A')$.
If $F(X)$ is homotopy cartesian with respect to $\A$, then $X$ is homotopy cartesian with respect to $\A'$.

In the rest of the chapter, we will only use this relative version of homotopy (co)cartesian squares.

For an object $X\in \rep(\mathrm{Sq})$, by Lemma <ref> the unit morphism $X\rightarrow RL X$ induces a canonical morphism $X\rightarrow \tau_{\leq 0} RLX$ in $\D(\mathrm{Sq})$.

Let $X$ be an object in $\rep(\mathrm{Sq})$. If the canonical map $X\rightarrow \tau_{\leq 0} RLX$ is an isomorphism, then $X$ is homotopy cartesian. If $\A$ is a connective dg category, then the converse also holds.

Let $X$ be the object

\[ \begin{tikzcd}A\ar[r,"f"]\ar[d,"g"swap,""{name=2}]&B\ar[d,"j"]\\
\end{tikzcd}
\]

in $\rep(\mathrm{Sq})$. Let $p:\Cone(-\Id_{\Sigma^{-1}D})\rightarrow D$ be the canonical projection.

Then the canonical map $X\rightarrow RLX$ can be described by the following commutative diagram in $\C(\A)$:

\[
\begin{tikzcd}
A\ar[r,"\begin{bmatrix}f\\g\end{bmatrix}"]\ar[d,"u"swap]&B\oplus C\ar[d,"\begin{bmatrix}0\ 1\ 0\\0\ 0\ 1\end{bmatrix}"]\ar[r,"{[}-j{,}k{]}"]&D\ar[d,equal]\\
K\ar[r, tail]&\Cone(-\Id_{\Sigma^{-1}D})\oplus B\oplus C\ar[r,"{[}p{,}-j{,}k{]}"swap, two heads]&D
\end{tikzcd}
\]

where the second row is a short exact sequence in $\C(\A)$.
By Lemma <ref>, we have $(\tau_{\leq 0} RLX)_{00}\iso \tau_{\leq 0}K$.

We have a canonical commutative diagram in $\D(\A)$

\[
\begin{tikzcd}
\end{tikzcd}.
\]

The map $u$ induces a canonical map $A\rightarrow \tau_{\leq 0}K$ in $\D(\A)$.
It is an isomorphism in $\D(\A)$ if and only if the canonical map $X\rightarrow \tau_{\leq 0}RLX$ is an isomorphism in $\D(\Sq)$.

The object $X$ is a homotopy cartesian square if and only if $u:A\rightarrow K$ induces an isomorphism in $\D(k)$

\[
\tau_{\leq 0}\RHom(A'^{\wedge},A)\iso \tau_{\leq 0}\RHom(A'^{\wedge}, K)
\]

for each $A'$ in $\A$.

Note that we have

\[
\tau_{\leq 0}\RHom(A'^{\wedge},\tau_{\leq 0}K) \iso \tau_{\leq 0}\RHom(A'^{\wedge}, K).
\]

So if the canonical map $A\rightarrow \tau_{\leq 0}K$ is an isomorphism in $\D(\A)$, then $X$ is homotopy cartesian.

When the dg category $\A$ is connective, we have

\[
\tau_{\leq 0}\RHom(A'^{\wedge},A)\iso \RHom(A'^{\wedge},A)
\]

\[
\tau_{\leq 0}\RHom(A'^{\wedge},\tau_{\leq 0}K)\iso \RHom(A'^{\wedge},\tau_{\leq 0}K).
\]

So the converse also holds.

Each graded-split short exact sequence  $0\rightarrow A\xrightarrow{f} B\xrightarrow{j} C\rightarrow 0$ in $\mathcal A$ gives rise to a homotopy cartesian square

\[
\begin{tikzcd}
\end{tikzcd}.
\]

Let $\A$ be an additive category which we consider as a dg category concentrated in degree zero.
Then the square

\[
\begin{tikzcd}
\end{tikzcd}
\]

with $A,B,C\in \A$ is homotopy cartesian if and only if in the sequence

\[
\begin{tikzcd}0\arrow[r]&A\arrow[r,"f"]&B\arrow[r,"j"]&C\end{tikzcd},
\]

$f$ is a kernel of $j$. Indeed we identify $\pretr(\A)$ with $\C^{b}_{dg}(\A)$. Then the object $\Sigma^{-1}\mathrm{Cone}(j)$ is identified with the complex $0\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow 0$ where $B$ is in degree $0$.

For each $A'\in \A$, the space $\Hom(A'^{\wedge},\Sigma^{-1}\mathrm{Cone}(g))$ is then identified with the kernel of the map $\Hom_{\A}(A',B)\rightarrow \Hom_{\A}(A',C)$.

The following lemma was obtained independently by Genovese, Lowen and Van den Bergh, c.f. <cit.>.

Let $\B$ be a connective dg category. Then the natural functor

\[
F: \rep(\B,\tau_{\leq 0}\A)\rightarrow\rep(\B,\A)
\]

is an equivalence of categories.
Let $H:\D(\A\otimes^{\mathbb L}\B^{op})\rightarrow \D(\tau_{\leq 0}\A\otimes^{\mathbb L} \B^{op})$ be the restriction functor.
Then a quasi-inverse of $F$ is given by $G=\tau_{\leq 0}\circ H$.
Moreover, for any $X, Y\in \rep(\B,\tau_{\leq 0}\A)$, we have $\tau_{\leq 0}\RHom(X, Y)\xrightarrow{\sim}\tau_{\leq 0}\RHom(FX,FY)$.

Let $\dgcat_{\leq 0}$ be the category of small strictly connective dg categories.
Then we have the following adjunction

\[
\begin{tikzcd}
\dgcat_{\leq 0}\ar[r,"i", shift left =0.8ex]&\dgcat\ar[l,"\tau_{\leq 0}", shift left=0.8ex]
\end{tikzcd}
\]

where the left adjoint $i:\dgcat_{\leq 0}\rightarrow \dgcat$ is the inclusion functor and the right adjoint $\tau_{\leq 0}:\dgcat\rightarrow \dgcat_{\leq 0}$ sends a small dg category $\A$ to $\tau_{\leq 0}\A$.

Let $\Hqe_{\leq 0}$ be the localization of $\dgcat_{\leq 0}$ at the class of quasi-equivalences of strictly connective dg categories.
The functors $i$ and $\tau_{\leq 0}$ clearly preserve quasi-equivalences.
Hence by the universal properties of localizations of categories, the above adjunction induces the following adjunction

\[
\begin{tikzcd}
\Hqe_{\leq 0}\ar[r,"i", shift left =0.8ex]&\Hqe\ar[l,"\tau_{\leq 0}", shift left=0.8ex]
\end{tikzcd}
\]

where $i$ is fully faithful.

We claim that the canonical morphism in $\Hqe_{\leq 0}$

\[
\tau_{\leq 0}\rep_{dg}(\B,\tau_{\leq 0}\A)\rightarrow \tau_{\leq 0}\rep_{dg}(\B,\A)
\]

is an isomorphism.

Let $\C$ be an arbitrary small strictly connective dg category.
Recall that the tensor product of strictly connective dg categories remains strictly connective and
that each connective dg category admits a cofibrant replacement which is strictly connective.
Recall that $\rep_{dg}(\B,\A)$ is the internal Hom of the monoidal category $(\Hqe,-\otimes^{\mathbb L}-)$.
Then we have

\[
\begin{aligned}
\Hom_{\Hqe_{\leq 0}}(\C,\tau_{\leq 0}\rep_{dg}(i(\B),i(\tau_{\leq 0}\A)))
&=\Hom_{\Hqe}(i(\C),\rep_{dg}(i(\B),i(\tau_{\leq 0}\A)))\\
&=\Hom_{\Hqe}(i(\C)\otimes^{\mathbb L}i(\B),i(\tau_{\leq 0}\A))\\
&=\Hom_{\Hqe_{\leq 0}}(\C\otimes^{\mathbb L}\B,\tau_{\leq 0}\A)\\
&=\Hom_{\Hqe}(i(\C)\otimes^{\mathbb L}i(\B),\A)\\
&=\Hom_{\Hqe_{\leq 0}}(\C,\tau_{\leq 0}\rep_{dg}(i(\B),\A)).
\end{aligned}
\]

The following lemma allows us to reduce, in many cases, to the connective case when considering homotopy (co)cartesian squares.

Consider the equivalence of categories $F:\rep(\Sq,\tau_{\leq 0}\A)\iso \rep(\Sq,\A)$ as in Lemma <ref>.
An object $X$ in $\rep(\mathrm{Sq},\tau_{\leq 0}\A)$ is homotopy cartesian
if and only if its image under $F$ in $\rep(\mathrm{Sq},\A)$ is homotopy cartesian.

Let $X$ be the commutative square of quasi-representable dg $\tau_{\leq 0}\A$-modules given by the diagram <ref>.
Consider the following diagram

\[
\begin{tikzcd}
\Sigma^{-1}\mathrm{Cone}(\psi)\ar[r]&X_{10}\oplus X_{01}\ar[r,"\psi={[}-j{,}k{]}"]& X_{11}\ar[r]&\mathrm{Cone}(\psi)
\end{tikzcd}\;.
\]

By applying $\Hom_{\D(\tau_{\leq 0}\A)}(A^{\wedge},-)$ to the above triangle for each $A\in \tau_{\leq 0}\A$, we get the associated long exact sequence

\[
\begin{tikzcd}
\dots\ar[r]&\Hom(A^{\wedge},\Sigma^{-1}X_{11})\ar[r]&\Hom(A^{\wedge},\Sigma^{-1}\Cone(\psi)) \ar[r]&\Hom(A^{\wedge},X_{10}\oplus X_{01})\ar[r]&\dots
\end{tikzcd}
\]

We have $\Hom(A^{\wedge}, \Sigma^{-n}X_{ij})\iso\Hom(FA^{\wedge},\Sigma^{-n}FX_{ij})$ for $n\geq 0$ where $F:\D(\tau_{\leq 0}\A)\rightarrow \D(\A)$ is the induction functor.
By the Five-Lemma, it is then clear that an object $X$ in $\rep(\mathrm{Sq},\tau_{\leq 0}\A)$ is homotopy cartesian if and only if its image under $F$ in $\rep(\mathrm{Sq},\A)$ is homotopy cartesian.

An object $S$ in $\rep(\mathrm{Cosp})$ is said to admit a homotopy pullback if there is a homotopy cartesian square $X$ in $\rep(\mathrm{Sq})$ with an isomorphism $\phi:LX\rightarrow S$ in $\D(\mathrm{Cosp})$.
In this case, the pair $(X,\phi)$ is called a homotopy pullback of $S$.
We will also abuse the notation and say that $X$ is a homotopy pullback of $S$.

The isomorphism $\varphi:LX\rightarrow S$ in the definition of a homotopy pullback is in general not the identity.
For example, let $\A$ be the dg category of two-term complexes of finitely generated projective modules over a finite dimensional algebra $A$.
The cospan

\[
\begin{tikzcd}
\end{tikzcd}
\]

where $A$ denotes the corresponding stalk complex, does not admit a homotopy pullback $(X,\phi)$ with $\phi$ being the identity.
It admits a homotopy pullback with $X$ given by

\[
\begin{tikzcd}
\end{tikzcd}
\]

and $\phi^{-1}$ given by the obvious morphism

\[
\begin{tikzcd}
&A\ar[d]                                  &\ar[d, white,""{name=4}]&  &\ar[d,white,""{name=3}]&           &A\ar[d]\ar[r,blue,from=4,to=3]\\
0\ar[r]&\Cone({\Id_A})       &\                                     &  &\                                    &0\ar[r] &0
\end{tikzcd}.
\]

The functor $L:\D(\mathrm{Sq})\rightarrow \D(\mathrm{Cosp})$ restricted to
the full subcategory consisting of homotopy cartesian squares is fully faithful.
In particular, the homotopy pullback of an object $S$ in $\rep(k\mathrm{Cosp},\A)$,
if it exists, is unique up to a unique isomorphism.

We first show the case when $\A$ is connective.

Let $X$ and $X'$ be two homotopy cartesian squares.
We first show fullness.
Let $f:LX\rightarrow LX'$ be a morphism in $\rep(\Cosp,\A)$.

From the adjunction

(Sq)[shift left=1ex, r, "L"]   (Cosp)[shift left=1ex, l,"R"]
we have a morphism $g:X\rightarrow RLX'$.

Since the object $X'$ is homotopy cartesian, by Lemma <ref>,
the map $X\rightarrow RLX'$ induces a morphism $h:X\rightarrow \tau_{\leq 0}RLX'\xleftarrow{\sim} X'$, as the following diagram shows

\[
\begin{tikzcd}
X\ar[ru,"h"red,red]\ar[r]&\tau_{\leq 0}RLX'\ar[r]&RLX'.
\end{tikzcd}
\]

By applying the functor $L$ to the above diagram, we see that $L(h)=f$.
This shows the fullness.

Next we show faithfulness.
Let $h:X\rightarrow X'$ be a morphism between homotopy cartesian squares.
We have the following diagram in $\D(\Sq)$

\[
\begin{tikzcd}
X\ar[r]\ar[d,"h"swap]&\tau_{\leq 0}RLX\ar[d]\ar[r]&RLX\ar[d,"RL(h)"]\\
X'\ar[r,"\sim"]&\tau_{\leq 0}RLX'\ar[r]&RLX'\\
\end{tikzcd}
\]

Therefore if the morphism $L(h)$ is zero, then $h$ is also zero.

For the general case, consider the following diagram of functors

\[
\begin{tikzcd}
\rep(k\Sq,\tau_{\leq 0}\A)\arrow[rd, hook]\arrow[shift right=1ex,ddd,"L"swap]\arrow[shift left=1ex,rrr,"F"]&&&\rep(k\Sq,\A)\arrow[shift left=1ex,lll,"G"]\arrow[shift right=1ex, ddd, "L'"]\arrow[ld,hook]\\
&\D( \tau_{\leq 0}\A\otimes k(\Sq^{op}))\arrow[r,  shift left=1ex, "F"] \arrow[shift right=1ex,d,"L"swap]  &\D(\A\otimes k(\Sq^{op}))\arrow[l, shift left=1ex, "H"]\arrow[shift right=1ex,d,"L'"swap]&\\
&\D(\tau_{\leq 0}\A\otimes k(\Cosp^{op}))\arrow[shift left=1ex, r, "F'"]\arrow[shift right=1ex,u,"R"swap]&\D(\A\otimes k(\Cosp^{op}))\arrow[shift left=1ex, l, "H'"]\arrow[shift right=1ex,u,"R'"swap]&\\
\rep(k\Cosp,\tau_{\leq 0}\A)\arrow[ru,hook]\arrow[shift left=1ex,rrr,"F'"]&&&\rep(k\Cosp,\A)\arrow[shift left=1ex, lll,"G'"]\arrow[lu,hook]
\end{tikzcd}
\]

Let $X$ and $X'$ be two objects in $\rep(k\Sq,\A)$ which are homotopy cartesian.

We have a canonical isomorphism of triangle functors $L\circ H\iso H'\circ L'$.
Since the restriction functor $L$ commutes with the truncation functors $\tau_{\leq 0}$ on $\D(\tau_{\leq 0}\A\otimes k(\Sq^{op}))$ and on $\D(\tau_{\leq 0}\A\otimes k\Cosp^{op})$, and since the functor $G$ (resp. $G'$) is a composition of $\tau_{\leq 0}$ and $H$ (resp. $H'$), we have a natural isomorphism of functors $G'\circ L'
\xrightarrow{\sim}L\circ G:\rep(\Sq,\A)\rightarrow \rep(k\Cosp,\tau_{\leq 0}\A)$.

Let $f:L'X\rightarrow L'X'$ be a morphism in $\rep(k\Cosp,\A)$.
The map $G'(f):G'L'X\rightarrow G'L'S$ then yields a canonical morphism $g:LGX \xrightarrow{\sim} LGX'$.
From the connective case, there is a morphism $h':GX\rightarrow GX'$ such that $g=L(h')$.
Since $G$ is an equivalence of categories, there exists a morphism $h:X\rightarrow X'$ such that $h'=G(h)$.
Since $G'$ is also an equivalence of categories, we see that $f=L'(h)$.

Similarly, one shows that if a morphism $h:X\rightarrow X'$ is such that $L'(h)=0$, then we have $h=0$.

Similarly, one can show that given a homotopy cartesian square $X'$ and an object $X$ in $\rep(\Sq)$, if we have a map $\varphi: LX\rightarrow LX'$ in $\rep(\mathrm{Cosp})$, then we have a canonical map $\theta:X\rightarrow X'$ in $\rep(\mathrm{Sq})$ such that $L(\theta)=\varphi$.

Consider an object $X\in \D(\mathrm{Sq})$ as follows

\[
\begin{tikzcd}
\end{tikzcd}
\]

where $N$ is acyclic.

We have an isomorphism in $\D(\mathrm{Sq})$ from $X$ to

\[
\begin{tikzcd}
A\ar[r,"\begin{bmatrix}f\\-g\end{bmatrix}"]\ar[d]&B\oplus N\ar[d,"{[}j{,}k{]}"]\\
\end{tikzcd}
\]

which restricts to $\Id_{A}$ and $\Id_{C}$.

Indeed we can write an isomorphism in $\D(\Sq)$ explicitly as follows:

\[
\begin{tikzcd}
A\ar[r,"f"]\ar[d,"g"swap,""{name=2}]\ar[bend left=10ex,rr,blue,"\begin{bmatrix}1\\-g\end{bmatrix}"]&B\ar[bend left=10ex, rr,blue,"\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}"]\ar[d,"j"]& A\oplus N\ar[d,"{[}0\text{,}-1{]}"]\ar[r,"\begin{bmatrix}f\ \ 0\\g\ \ 1\end{bmatrix}"]&B\oplus N\ar[d,"{[}j\text{,}-k{]}"]&A\ar[d]\ar[ll,bend right=10ex,red,"\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}"swap]\ar[r,"\begin{bmatrix}f\\g\end{bmatrix}"]&B\oplus N\ar[ll,bend left=6ex, red,"\ \ \ \ \ \Id"]\ar[d,"{[}j\text{,}-k{]}"]\\
N\ar[r,"k"swap]\ar[bend right=6ex,rr,blue,"\Id"swap]&C\ar[bend right=6ex,rr,blue,"\Id"swap]&N\ar[r,"k"swap]&C&0\ar[ll,bend left=6ex, red,"\mathrm{0}"]\ar[r]&C\ar[ll,bend left=6ex,red,"\Id"]
\end{tikzcd}.
\]

Therefore if an object $X$ in $\rep(\mathrm{Sq},\A)$ is such that $N$ is acyclic, we will assume that $N$ is actually the zero dg module.

Recall that we have the pair of duality functors
\[\begin{tikzcd}
\rep(\I,\A)\arrow[shift left=1ex,rr,"\mathrm{RHom}(- \text{,} \mathcal{A})"]&&\rep(\I^{op},\A^{op})^{op}\arrow[shift left=1ex, ll,"\RHom(-\text{,}\A)"]
\end{tikzcd}\]

Then we can form the dual definitions of a homotopy cocartesian square with respect to $\A$ and of a homotopy pushout of an object in $\D(\mathrm{Sp})$.

An object $X\in \rep(\mathrm{Sq})$ given by the diagram <ref> is a homotopy cocartesian square with respect to $\A$ if the canonical map $\mathrm{Cone}((f,g)^{\intercal})\rightarrow X_{11}$ induces an isomorphism in $\D(k) $

\[
\tau_{\leq 0}\RHom(X_{11},A^{\wedge})\rightarrow \tau_{\leq 0}\RHom(\mathrm{Cone}((f,g)^{\intercal}),A^{\wedge})
\]

for each $A$ in $\A$.

Consider the adjunction [column sep=huge]
[shift left=1ex,"L"]r[name=D]
[shift left=1ex,"R"]l[name=U]

induced by the inclusion $\mathrm{Sp}\rightarrow\mathrm{Sq}$.

An object $S$ in $\rep(\mathrm{Sp})$ is said to admit a homotopy pushout if there is a homotopy cartesian square $X$ in $\rep(\mathrm{Sq},\A)$ with an isomorphism $\phi:S\rightarrow RX$ in $\D(\mathrm{Sp})$. In this case, the pair $(X,\phi)$ is called a homotopy pushout of $S$. We will also abuse the notation and say that $X$ is a homotopy pushout of $S$.

Let us give another way of presenting the duality between homotopy pushouts and homotopy pullbacks.
First we observe that $k\Sq$ is quasi-equivalent to the cofibrant dg $k$-path category
$\Lambda=\Lambda(\Delta^1 \times \Delta^1)$ given by the differential graded quiver

\[
\begin{tikzcd}
0\ar[r,"f"]\ar[rd,"l"{yshift=-3pt}]\ar[rd,bend right=5ex,"h_1"{yshift=6pt,xshift=2pt,red},red,swap]\ar[rd,bend left=5ex,"h_2"{yshift=-5pt, red},red]\ar[d,"g"swap]&1\ar[d,"j"]\\
\end{tikzcd}
\]

where $|f|=|j|=|l|=|g|=|k|=0$, $|h_1|=|h_2|=-1$, $d(h_1)=l-kg$ and $d(h_2)=l-jf$, cf. the discussions after
Remark <ref>.
Then objects in $\rep(\Lambda,\A)$ are isomorphic to objects whose terms are representable,
e.g. one can argue as in Lemma <ref>.
Such objects canonically give objects in $\rep(\Lambda,\A^{op})$ by simply reversing the arrows and
composing with the obvious isomorphism $\Lambda \iso \Lambda^{op}$.
In such a way, one defines an object in $\rep(\Lambda,\A)$ to be a homotopy pushout if and only if the corresponding object in $\rep(\Lambda,\A^{op})$ is a homotopy pullback.

Let $A$ be a finite-dimensional $k$-algebra.
Let $\mathcal H^{[-1,0]}(\proj A)$ be the full subcategory of $\T=\mathcal H^b(\proj A)$ consisting of two-term complexes $P^{-1} \to P^0$ of finitely generated projective $A$-modules.
Let $\A=\C^{b}_{dg}(\proj A)$ be the canonical enhancement of
${\mathcal H}^b(\proj A)$ and $\A'$ its full dg subcategory on the objects $P^{-1} \to P^0$.
For an $A$-module $M$, we denote by $M^*$ its $A$-dual.
One can show that there exists a homotopy bicartesian square in $\A'$ which is not homotopy bicartesian in
$\A$ if and only if there exists an $A$-module $M$ satisfying the following properties

(1) $\pd_A M= 1$, and

(2) $\pd_{A^{op}} M^*=1$, and

(3) $M$ is reflexive, i.e. the canonical map $M\rightarrow M^{**}$ is an isomorphism.

Below, we will show by examples that there is no redundance in these conditions.
Suppose we are given such an $A$-module $M$.
Take a minimal projective presentation of $M$

\[
0\rightarrow P_1\rightarrow P_0\rightarrow M\rightarrow 0.
\]

Then we have a left exact sequence of left $A$-modules:

\[
0\rightarrow M^*\rightarrow P_0^*\rightarrow P_1^*.
\]

Take a minimal projective presentation of $N=M^*$

\[
0\rightarrow Q_1\rightarrow Q_0\rightarrow N\rightarrow 0.
\]

Then we have a left exact sequence of right $A$-modules:

\[
0\rightarrow M\rightarrow Q_0^*\rightarrow Q_1^*.
\]

Then the following square

\[
\begin{tikzcd}
(P_1\rightarrow P_0)\ar[d]\ar[r]&(0\rightarrow Q_0^*)\ar[d]\\
0\ar[r]&(0\rightarrow Q_1^*)
\end{tikzcd}
\]

is homotopy bicartesian in $\A'$, but not in $\A$.

Note that conditions (1) and (3) together do not imply condition (2), as the following example shows.
Let $A_1$ be the algebra given by the following quiver the relations

\[
\begin{tikzpicture}
\node(a) at (-1.5,0){
\node(b) at (1.5,0){
\node(c) at (0,-1.5){

\draw[->,transform canvas={yshift=0.2cm}](a)--(b) node [pos=0.5,above] {$ a_{1} $};
\draw[->,transform canvas={yshift=-0.2cm}](a)--(b) node [pos=0.5,below] {$ a_{2} $};
\draw[->,transform canvas={yshift=-0.1cm}](b)--(c) node [pos=0.3,below] {$ b $};
\draw[->,transform canvas={yshift=-0.1cm}](c)--(a) node [pos=0.6,below] {$ c $};
\draw[dashed,blue] ([shift=(-57:0.65)]-1.5,0) arc (-55:-350:0.7cm);
\draw[dashed,blue] ([shift=(-160:0.8)]1.5,0) arc (-168:-135:0.8cm);
\draw[dashed,blue] ([shift=(45:0.6)]0,-1.5) arc (45:135:0.6cm);
\end{tikzpicture}
\]

Let $L$ be following $A_1$-module

\[
\begin{tikzcd}
k\ar[rd,"0"swap]&&k\ar[ll,shift right=0.8ex,"\Id"swap]\ar[ll,shift left=0.8ex,"0"]\\
\end{tikzcd}
\]

It admits a projective presentation

\[
0\rightarrow P_1\rightarrow P_2\rightarrow L\rightarrow 0
\]

and its $A_1$-dual is the simple module $S_3'$ at the vertex 3.
The $A_1^{op}$-module $S_3'$ admits a projective resolution

\[
0\rightarrow P_2'\rightarrow P_1'\rightarrow P_3'\rightarrow S_3'\rightarrow 0.
\]

Thus $L^{**}$ is isomorphic to $L$, both being the kernel of $P_3\rightarrow P_1$.
Therefore the $A_1$-module $L$ satisfies properties (1) and (3) but not property (2).
Also, the $A_1^{op}$-module $L^*$ satisfies properties (2) and (3) but not property (1).

Note also that conditions (1) and (2) together do not imply condition (3), as the following example shows.
Let $A_2$ be the algebra given by the following quiver with relations

\[
\begin{tikzcd}
2\ar[r,""{name=6,near end,swap},""{name=7,near end}]&3\ar[u,""{name=1,swap},""{name=8,near start}]\ar[r,""{name=4},""{name=5,near start,swap}]&4.\ar[lu,""{name=2},""{name=3}]\ar[r,from=3,to=4,dashed,no head, bend right=8ex,blue]\ar[r,from=5,to=6,dashed,no head,bend left=8ex,blue]\ar[r,from=7,to=8,dashed,no head,bend left=8ex,blue]
\end{tikzcd}
\]

Consider the simple module $S_3$ at vertex 3.
It has a projective resolution

\[
0\rightarrow P_2\rightarrow P_3\rightarrow S_3\rightarrow 0
\]

Its $A_2$-dual is the kernel of $P_3'\rightarrow P_2'$ and is isomorphic to $S_1'\oplus S_4'$.
The module $S_1'=P_1'$ is projective and $S_4'$ admits a projective resolution

\[
0\rightarrow P_1'\rightarrow P_4'\rightarrow S_4'\rightarrow 0
\]

So the $A_2$-bidual of $S_3$ contains $P_1$ as a direct summand and hence $S_3$ is not reflexive.

We give examples of algebras $A$ admitting such modules.
Note that such an algebra can neither be hereditary, nor local nor self-injective.
Consider the algebras given by the quivers with relations

\[
\begin{tikzcd}
&2\ar[rd,""{name=b,swap,near start},""{name=b',swap, near end},"b",""{name=b'',swap}]&\\
1\ar[ru,""{name= a,swap,near end},"a"]&&3,\ar[ll,""{name=c, swap,near start},"c"]\arrow[from = a, to = b,bend right=20, dashed, no head]\ar[from=b'',to=c,bend right=20,dashed,no head]
\end{tikzcd}
\begin{tikzcd}
1&3\ar[l]&2\ar[u,""{name=3,near end},""{name=2,swap,near start}]\ar[l]&6.\ar[l,""{near end,swap,name=1}]\ar[r,from=1,to=2,dashed,no head,bend right=12ex]\ar[r,from=3,to=4,dashed,no head,bend left=12ex]
\end{tikzcd}
\]

\[
\begin{tikzcd}
1\ar[r,""{name=1,swap, near end},"a"]&2\ar[r,""{name=2,swap,near start},""{name=3,swap, near end},"b"]&3\ar[r,""{name=4,swap,near start},"c"]&4\ar[r,bend right=12ex, from =1,to=2,dashed,no head]\ar[r,bend right=12ex,from=3,to=4,dashed,no head],
\end{tikzcd}
\begin{tikzcd}
&&4\ar[d,""{name=5,swap,near end}]&\\
1&3\ar[l,""{name=1,near start}]&2\ar[l,""{name=2,near end},""{name=3,near start},""{name=6,near start, swap}]&5,\ar[l,""{name=4,near end}]\ar[r,from=1,to=2,dashed,no head,bend right=8ex]\ar[r,from =3,to=4,dashed,no head,bend right=8ex]\ar[r,from=5,to=6,dashed,no head,bend right =8ex]
\end{tikzcd}
\begin{tikzcd}
2\ar[r,""{name=2,near start,swap},""{name=3,near end, swap}]&3\ar[d,""{name=4,near start, swap}]\\
1\ar[u,""{name=1,swap,near end}]&4.\ar[l]\ar[r,from=1,to=2,dashed,no head,bend right=8ex]\ar[r,from=3,to=4,no head,dashed, bend right=8ex]
\end{tikzcd}
\]

Then the simple modules $S_2$ at the vertices 2 satisfy the above properties.

§.§ An $A_{\infty}$-theoretic description

Our aim is to give a description of the homotopy
category of homotopy $3$-term complexes using the $A_\infty$-formalism.
We first recall some basic facts and notation for $A_\infty$-categories. Our standard references for $A_\infty$-categories are [82, 83, 84, 95]. We follow the sign conventions of [50]. Note that we keep the assumption that $k$ is a commutative ring.

An $A_{\infty}$-category $\A$ is the datum of

* a class of objects $\obj(\A)$,

* for all $A, B\in \A$, a $\mathbb Z$-graded $k$-module $\Hom_{\A}(A,B)$, often denoted by $(A,B)$,

* for all $n\geq 1$ and all $A_0$, …, $A_n$, a graded map

\[
m_n:(A_{n-1},A_n)\otimes(A_{n-2},A_{n-1})\otimes \cdots\otimes(A_0,A_1)\rightarrow (A_0,A_n)
\]

of degree $2-n$

such that for each $n\geq 1$ and all $A_0, \ldots, A_n\in\A$, we have the identity

\[
\sum (-1)^{r+st}m_u(\boldsymbol{1}^{\otimes r}\otimes m_s\otimes \boldsymbol{1}^{\otimes t})=0
\]

of maps

\[
(A_{n-1},A_n)\otimes(A_{n-2},A_{n-1})\otimes \cdots\otimes(A_0,A_1)\rightarrow (A_0,A_n)
\]

where the sum runs over all decompositions $n=r+s+t$ and we put $u=r+1+t$.

The composition $m_2$ induces an associative composition

\[
\mu: H^0(\A)(B,C)\otimes H^0(\A)(A,B)\rightarrow H^0(\A)(A,C)
\]

for each triple of objects $(A,B,C)$ in $\A$.

Let $\A$ be an $A_{\infty}$-category and $A\in\A$. A morphism $e_{A}\in \Hom^{0}_{\A}(A,A)$ is a strict identity if we have

\[
m_2(f,e_A)=f \mbox{ and } m_2(e_A,g)=g
\]

whenever these make sense and

\[
\]

for all $n\neq 2$.
In particular, $e_A$ is a cycle of the complex $(\Hom_{\A}(A,A),m_1)$.
Clearly, if $e_A$ exists, it is unique.
The $A_{\infty}$-category $\A$ has strict identities if there is a strict identity $e_A$ for each object $A\in \A$.